Trigonometría, coordenadas y periodicidad

El extremo de un radio que gira uniformemente recorre distancias iguales sobre una circunferencia en tiempos iguales. Su altura, sin embargo, no cambia uniformemente. Sube despacio cerca del punto superior, más deprisa cerca del centro y vuelve a bajar. Un movimiento circular sencillo produce una variación distinta al observar sólo una de sus componentes.

La trigonometría conecta dirección, proporción y repetición. Comienza con triángulos semejantes, cuyas razones de lados dependen de los ángulos y no del tamaño. El círculo extiende esas razones a giros completos, signos y múltiples vueltas. La misma construcción sirve para localizar un punto mediante distancia y dirección y para describir una oscilación. La geometría del capítulo 120 sostiene estas relaciones; la función del capítulo 119 permite considerar todos sus valores, en lugar de un solo cálculo angular.

121.1. Seno, coseno y tangente como razones#

Dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes. Sus lados correspondientes pueden tener longitudes distintas, pero guardan las mismas razones. Así, la inclinación de una rampa puede compararse sin exigir que dos rampas tengan igual longitud. El ascenso vertical por unidad de avance horizontal expresa una relación de forma.

En un triángulo rectángulo se elige un ángulo agudo $\theta$. El cateto opuesto es el que queda frente a él; el adyacente lo toca y no es la hipotenusa. La hipotenusa, opuesta al ángulo recto, es el lado más largo. Si sus longitudes son $o$, $d$ y $h$, respectivamente, las razones son

Los símbolos $\sin$, $\cos$ y $\tan$ denotan seno, coseno y tangente. Las tres longitudes deben expresarse en unidades compatibles; los cocientes no tienen unidad física. Las denominaciones de cateto opuesto y adyacente dependen del ángulo elegido: al pasar al otro ángulo agudo intercambian papeles. La hipotenusa conserva el suyo. (OpenStax, trigonometría de triángulos rectángulos).

Ejemplo construido. Un esquema de rampa tiene ascenso de 1,2 metros y avance horizontal de 3,5. La longitud inclinada es 3,7 metros por Pitágoras. Respecto del ángulo con la horizontal, el seno es $1,2/3,7$, aproximadamente 0,324; el coseno es $3,5/3,7$, aproximadamente 0,946; la tangente es $1,2/3,5$, aproximadamente 0,343. La pendiente expresada en porcentaje es 34,3 %, no 34,3 grados. El ángulo es aproximadamente 18,9 grados.

La tangente enlaza pendiente y ángulo, pero no los identifica. Una pendiente del 100 % tiene igual ascenso que avance y corresponde a 45 grados. Un ángulo de 90 grados no tiene avance horizontal positivo y su tangente no está definida. Cerca de una dirección vertical, pequeños cambios angulares pueden producir grandes cambios en el cociente ascenso/avance. Este comportamiento será relevante para la sensibilidad de mediciones indirectas.

Los triángulos particulares permiten obtener valores exactos. Un triángulo rectángulo isósceles tiene ángulos agudos de 45 grados; sus catetos iguales y Pitágoras dan $\sin {45}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }=1/\sqrt{2}$. Dividir un triángulo equilátero por una altura produce dos triángulos de 30, 60 y 90 grados y permite obtener $\sin {30}^{\circ }=1/2$. Esas relaciones se deducen de la geometría, mientras el valor para un ángulo arbitrario puede calcularse mediante procedimientos numéricos.

Encontrar un ángulo a partir de una razón requiere una función inversa con dominio restringido. En el intervalo de ángulos agudos, la tangente aumenta y una pendiente positiva determina una única inclinación. Se escribe $\theta =\arctan (o/d)$. La arcotangente devuelve el ángulo principal cuya tangente es el argumento; por convenio habitual su salida está entre $-\pi /2$ y $\pi /2$ radianes. Para orientaciones completas, aquella respuesta principal no distingue por sí sola todas las direcciones posibles.

Las razones de triángulos rectángulos no justifican aplicar una misma fórmula a cualquier triángulo. Si se conocen dos lados oblicuos de una figura, hay que identificar el ángulo incluido y la perpendicularidad antes de decidir qué razón sirve. Una hipotenusa no es cualquier diagonal, ni un cateto adyacente cualquier lado cercano a la etiqueta de un ángulo.

121.2. Círculo unitario y medida angular#

Una dirección puede girar más allá de los ángulos agudos. Para definir seno y coseno de cualquier giro se toma un círculo de radio uno, centrado en el origen de un plano de coordenadas. Un ángulo $\theta$ se mide desde el eje horizontal positivo, con sentido antihorario positivo. El punto donde la dirección llega al círculo tiene coordenadas

$x$ e $y$ son coordenadas numéricas sin unidades en este círculo normalizado. En el primer cuadrante, proyectar el radio sobre ambos ejes forma el triángulo rectángulo anterior; el radio es su hipotenusa de longitud uno. Las coordenadas recuperan las razones y las extienden mediante signos a los demás cuadrantes. (OpenStax, círculo unitario).

Al llegar al punto superior, el coseno es cero y el seno uno. Tras media vuelta, el coseno es menos uno y el seno cero. En el tercer cuadrante ambos son negativos; en el cuarto, coseno positivo y seno negativo. Los signos indican direcciones de las proyecciones, no longitudes negativas de los lados de un triángulo. La distancia al centro sigue siendo uno en todos los casos.

La tangente se extiende como $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$, sólo cuando el coseno no es cero. Si el radio es vertical, el cociente exige dividir entre cero y no existe. El seno y el coseno, en cambio, están definidos para todo ángulo real y sus valores permanecen entre menos uno y uno. Que una función trigonométrica admita cualquier ángulo no implica que todas compartan el mismo dominio.

El radián mide un ángulo por la razón entre longitud de arco y radio. Si un arco de longitud $s$ corresponde a un ángulo central y el círculo tiene radio $r>0$, su medida en radianes es $\theta =s/r$. $s$ y $r$ tienen unidades de longitud compatibles; el cociente es adimensional. Se conserva el nombre radián, y su abreviatura rad, para identificar que aquel número mide un ángulo. Un radián corresponde a un arco tan largo como el radio. (OpenStax, grados, radianes y arcos).

Una circunferencia completa mide $2\pi r$, de modo que una vuelta son $2\pi$ radianes. Media vuelta es $\pi$ y un cuarto, $\pi /2$. Para convertir grados a radianes se multiplica su valor numérico por $\pi /180$. Aquí $\pi$ es la razón entre circunferencia y diámetro de un círculo euclidiano. La fórmula de arco $s=r\theta$ utiliza la medida en radianes; insertar sin conversión el número de grados cambia el resultado.

Ejemplo construido. Un arco de 60 grados en un círculo de radio tres metros mide $3\times \pi /3=\pi$ metros, aproximadamente 3,142. Multiplicar tres por sesenta daría 180 metros, incluso mayor que toda la circunferencia, que mide unos 18,85. La comparación con la vuelta completa detecta la unidad angular equivocada antes de aceptar una respuesta numérica.

Después de una vuelta completa se recuperan ambas coordenadas. Por eso $\sin (\theta +2\pi )=\sin \theta$ y $\cos (\theta +2\pi )=\cos \theta$. La igualdad no afirma que el giro recorrido haya sido el mismo: las coordenadas finales no retienen cuántas vueltas se dieron. La tangente repite su valor después de media vuelta porque cambian a la vez los signos del numerador y denominador. Su período fundamental es $\pi$, mientras los de seno y coseno son $2\pi$.

Una calculadora debe interpretar el argumento en la unidad esperada. El seno del número 30 en modo radianes no es el seno de 30 grados. En fórmulas sin símbolo de grados se adoptará aquí la convención de radianes. La declaración es especialmente útil al unir geometría con modelos temporales y, después, con cálculo diferencial.

121.3. Identidades, triángulos y triangulación#

La distancia unitaria al origen da $x^2+y^2=1$. Sustituir las coordenadas del círculo produce la identidad pitagórica

Los exponentes indican cuadrados de los valores, no seno o coseno de un ángulo cuadrado. La identidad vale para todo ángulo real. Si se conoce un seno, permite hallar la magnitud del coseno, pero deja dos signos posibles cuando la magnitud no es cero. Saber el cuadrante proporciona la información que el cuadrado elimina. Una identidad expresa una relación general; una ecuación como $\sin \theta =1/2$ selecciona ángulos particulares. (OpenStax, identidades trigonométricas).

Los cambios de dirección también se pueden descomponer. Para ángulos reales $\alpha$ y $\beta$,

Esta relación permite calcular la componente horizontal tras dos giros sucesivos a partir de las componentes de cada giro. La suma de ángulos no se transforma en suma de cosenos. Para dos giros de 60 grados, el lado izquierdo es $\cos {120}^{\circ }=-1/2$; sumar los dos cosenos daría uno. La proyección depende de cómo se compone la dirección, no sólo de agregar proyecciones iniciales.

Las razones se extienden a triángulos no rectángulos mediante alturas auxiliares. En un triángulo euclidiano no degenerado se llaman $A$, $B$ y $C$ sus ángulos interiores, y $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados opuestos. La ley de los senos es

Los ángulos están entre cero y 180 grados y los lados son positivos, medidos en la misma unidad. El cociente común tiene unidad de longitud. Trazar una altura permite expresarla como producto de un lado por el seno de un ángulo; igualar las dos expresiones de esa altura conduce a las proporciones. El procedimiento puede adaptarse cuando la altura queda fuera del triángulo. (OpenStax, ley de los senos).

La ley de los cosenos relaciona dos lados y el ángulo comprendido:

El lado $c$ está frente a $C$. Al ser $C$ recto, su coseno vale cero y se recupera Pitágoras. Un ángulo menor que el recto tiene coseno positivo y reduce el cuadrado del lado opuesto respecto de $a^2+b^2$; uno obtuso lo aumenta. La fórmula puede construirse proyectando un lado sobre la dirección del otro y aplicando Pitágoras a sus componentes. (OpenStax, ley de los cosenos).

Ejemplo construido. Dos segmentos de cinco y siete metros salen de un mismo punto con un ángulo de 60 grados. La separación entre sus otros extremos tiene cuadrado $25+49-2\times 5\times 7\times 0,5=39$ metros cuadrados; mide $\sqrt{39}$ metros, aproximadamente 6,245. Sumar cinco y siete daría la longitud de un camino que pasa por el vértice, no la separación directa. Aplicar Pitágoras sin el término angular supondría un ángulo de 90 grados que no está dado.

La triangulación permite obtener distancias a un punto inaccesible mediante una base conocida y direcciones observadas desde sus extremos. Ejemplo construido. Dos estaciones están separadas por una base horizontal de 20 metros. Un objetivo al mismo lado de la base forma ángulos interiores de 45 grados con ella desde ambas estaciones. El tercer ángulo es 90 grados y la perpendicular del objetivo pasa por el punto medio. La distancia perpendicular a la base es diez metros. La geometría convierte una longitud accesible y dos ángulos en una distancia no recorrida.

La reconstrucción requiere que se midan los ángulos correspondientes, que las estaciones y el objetivo pertenezcan al modelo elegido y que la base tenga longitud conocida. Si las visuales casi coinciden en dirección, una pequeña incertidumbre angular puede desplazar mucho la intersección estimada. Medir más cifras no cambia una configuración geométrica desfavorable. La topografía añadirá curvatura terrestre, alturas instrumentales, redes de control y propagación de incertidumbre; la trigonometría explica el núcleo de la relación.

Conocer dos lados y un ángulo no comprendido puede admitir dos triángulos, uno o ninguno. La inversión del seno ofrece un ángulo principal, pero un ángulo suplementario tiene el mismo seno. Debe comprobarse cuál es compatible con la suma angular y las longitudes. Una respuesta de calculadora representa una rama de la función inversa, no una prueba de que la construcción sea única.

121.4. Coordenadas cartesianas, polares y esféricas#

Las coordenadas cartesianas de un punto miden componentes sobre ejes perpendiculares. En el plano son $(x,y)$ respecto de un origen, orientaciones y unidad elegidos. Las coordenadas polares especifican distancia al origen y dirección: $(r,\theta )$, con $r\ge 0$ en la convención adoptada aquí. Las relaciones son

$x$, $y$ y $r$ tienen unidades de longitud compatibles; $\theta$ es el ángulo desde el eje horizontal positivo. Un mismo punto admite direcciones que difieren por vueltas completas. En el origen, $r=0$ y el ángulo es indeterminado: cualquier dirección conduce al mismo punto. Algunos textos permiten radios negativos y compensan mediante un cambio de ángulo de media vuelta; usar otra convención exige declararla. (OpenStax, coordenadas polares).

Para recuperar la dirección no basta calcular $\arctan (y/x)$. El cociente tiene el mismo valor si ambas coordenadas cambian de signo y no existe cuando $x=0$. Un procedimiento de dos argumentos, habitualmente llamado $\mathrm{atan}2(y,x)$, utiliza los signos de ambas componentes para elegir el cuadrante; el intervalo de salida depende de la convención del sistema utilizado. En el origen no hay una dirección geométrica única que ese procedimiento pueda descubrir.

Ejemplo construido. El punto $(x,y)=(-3,3)$ metros tiene distancia $3\sqrt{2}$ metros al origen y dirección de 135 grados. El cociente $y/x=-1$ podría dar menos 45 grados mediante una arcotangente principal, dirección que apunta al cuadrante opuesto. La información de signos corrige la elección. Cambiar a coordenadas polares cambia la descripción, no la posición del punto.

En tres dimensiones, las coordenadas cartesianas son $(x,y,z)$ sobre tres ejes mutuamente perpendiculares. Una descripción esférica usa distancia al origen $\rho \ge 0$, azimut $\theta$ en el plano horizontal y ángulo polar $\varphi$ desde el eje vertical positivo. Se adopta $0\le \varphi \le \pi$, y para el azimut se puede elegir $0\le \theta <2\pi$ cuando está definido. Las conversiones son

$\rho$, $x$, $y$ y $z$ se miden en unidades de longitud; los ángulos están en radianes. Primero se proyecta la distancia sobre el plano horizontal, dando $\rho \sin \varphi$, y después se descompone aquella proyección mediante el azimut. Sobre el eje vertical, el azimut es indeterminado; en el origen también pierde sentido el ángulo polar. (OpenStax, coordenadas cilíndricas y esféricas).

Otra convención usa elevación sobre el plano horizontal en vez de ángulo desde el eje vertical. Si la elevación es $\epsilon$, entonces $\epsilon =\pi /2-\varphi$ y $z=\rho \sin \epsilon$. Las letras empleadas varían entre disciplinas; identificar la referencia angular importa más que reconocer un símbolo. La latitud geográfica tampoco debe equipararse sin condiciones a aquel ángulo en modelos terrestres no esféricos.

Las coordenadas no son una geometría distinta por sí mismas. Un círculo euclidiano centrado en el origen se escribe $x^2+y^2=R^2$ en cartesianas o $r=R$ en polares, donde $R$ es su radio fijo. La segunda descripción es más sencilla porque acompaña su simetría radial. Elegir coordenadas adecuadas puede simplificar el razonamiento; no cambia distancias físicas ni convierte una superficie curva en plana.

121.5. Ondas, ciclos y señales periódicas#

Una proyección del giro circular regresa al mismo estado después de cada vuelta. Una función periódica cumple $q(t+T)=q(t)$ para un intervalo positivo $T$ y todas las entradas pertinentes; cuando existe un menor período positivo, se llama período fundamental. $t$ puede representar tiempo y $q(t)$ una señal observada. La repetición exacta pertenece a la función; los procesos reales pueden mostrar ciclos aproximados cuya duración o amplitud cambian.

Una señal sinusoidal temporal puede escribirse

$q_0$ es su nivel central, $A>0$ su amplitud, $t$ el tiempo, $\omega >0$ la frecuencia angular y $\phi$ la fase inicial. $q$, $q_0$ y $A$ tienen las mismas unidades de señal; $\omega$ se expresa en radianes por unidad de tiempo y $\phi$ en radianes. El argumento describe el ángulo que avanza con el tiempo. La amplitud es la máxima separación respecto del nivel central, y el recorrido entre mínimo y máximo es $2A$. (OpenStax, seno, coseno y sus gráficas).

El período es $T=2\pi /\omega$ porque aquel tiempo incrementa el ángulo en una vuelta. La frecuencia $f=1/T$ cuenta ciclos por unidad de tiempo; cuando ésta es el segundo se mide en hercios, Hz. Por tanto, $\omega =2\pi f$. Un ciclo por segundo y un radián por segundo no son lo mismo. La fase inicial determina en qué punto del ciclo empieza el registro, sin modificar la amplitud ni el período.

Ejemplo construido. Una señal ideal tiene nivel central de diez milímetros, amplitud de tres y período de cuatro segundos. Se define $q(t)=10\mathrm{mm}+(3\mathrm{mm})\sin ((\pi /2\mathrm{rad}/\mathrm{s})t)$, con el argumento interpretado en radianes. En cero vale diez; en un segundo, trece; en dos, diez; en tres, siete; en cuatro, diez. Si la misma señal comienza un segundo más tarde, se reemplaza $t$ por $t-1\mathrm{s}$. La traslación cambia la fase y conserva período y amplitud.

Una oscilación temporal en un punto no determina cómo se propaga en el espacio. Un modelo sencillo de onda viajera es $u(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\phi )$, donde $x$ es posición a lo largo de una dirección y $u$ una perturbación, ambas con las unidades que correspondan; $A$ tiene las unidades de $u$, $k>0$ es el número de onda en radianes por unidad de longitud y $\omega >0$ la frecuencia angular temporal. La longitud de onda es $\lambda =2\pi /k$. Mantener una misma fase exige avanzar con velocidad $v=\omega /k$, con unidades de longitud por tiempo. Esta es una consecuencia del modelo de fase, no una afirmación universal sobre cualquier velocidad de transporte del medio.

Muchas señales periódicas no son sinusoidales. Una secuencia de pulsos puede repetir su patrón y tener cambios bruscos; una suma de oscilaciones puede producir una forma más compleja. La descripción trigonométrica sirve para comparar componentes, pero no garantiza que haya un mecanismo circular oculto. Una función construida a partir de proyecciones puede modelar fenómenos que no son giros materiales.

El muestreo añade otro límite. Ejemplo construido. La señal $q(t)=\sin (2\pi t/(1\mathrm{s}))$ se observa sólo en segundos enteros. Todas las muestras valen cero, aunque entre ellas la señal oscile. Una señal constantemente nula produce los mismos registros. Esta ambigüedad muestra que una serie de puntos puede perder la periodicidad por la elección de intervalos. Resolverla exige un diseño de observación y supuestos adicionales sobre el contenido de la señal.

La trigonometría permite pasar entre componentes, direcciones y fases con relaciones exactas. Su interpretación requiere conservar las unidades angulares, los dominios de las inversas y el marco de coordenadas. Una distancia calculada o una frecuencia ajustada adquiere sentido al volver a esas condiciones; los símbolos comprimen la representación sin sustituir la comprobación del proceso que se quiso representar.

Preguntas de transferencia#

La pendiente escrita como ángulo#

Ejemplo construido. Un plano declara una pendiente de 20 %. Se introduce el número veinte como ángulo en la calculadora. ¿Cómo debe corregirse la interpretación?

Un seno que deja dos direcciones#

Para un ángulo entre cero y 180 grados se sabe que su seno es un medio. ¿Puede concluirse que mide 30 grados?

Dos frecuencias que utilizan unidades distintas#

Ejemplo construido. Una oscilación completa dos ciclos por segundo. Alguien asigna a la fórmula del seno una frecuencia angular de dos radianes por segundo. ¿Qué período produciría y cuál se necesita?

Una posición definida con otra convención#

Ejemplo construido. Se comunica una distancia de diez metros y un ángulo vertical de 30 grados, sin indicar su referencia. ¿Basta para obtener la altura de un punto respecto del origen?

Fuentes y lecturas del capítulo#

OpenStax. Algebra and Trigonometry 2e, sección 7.2, «Right Triangle Trigonometry». Referencia para razones de lados y obtención de distancias y ángulos en triángulos rectángulos. (Sección).

OpenStax. Algebra and Trigonometry 2e, sección 7.1, «Angles». Apoya sentido angular, conversión entre grados y radianes y longitud de arco. (Sección).

OpenStax. Algebra and Trigonometry 2e, sección 7.3, «Unit Circle». Referencia para la extensión de seno y coseno a cualquier ángulo y la información de signos en los cuadrantes. (Sección).

OpenStax. Algebra and Trigonometry 2e, sección 9.1, «Verifying Trigonometric Identities and Using Trigonometric Identities to Simplify Trigonometric Expressions». Lectura para distinguir identidades de ecuaciones y conservar las condiciones de las transformaciones. (Sección).

OpenStax. Algebra and Trigonometry 2e, secciones 10.1 y 10.2, «Non-right Triangles: Law of Sines» y «Non-right Triangles: Law of Cosines». Referencias para triangulación y la posibilidad de ambigüedad con datos que no determinan un triángulo único. (Senos; cosenos).

OpenStax. Algebra and Trigonometry 2e, sección 10.3, «Polar Coordinates». Lectura para conversiones y multiplicidad de representaciones de un mismo punto. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 3, sección 2.7, «Cylindrical and Spherical Coordinates». Se consultó para la convención de ángulo polar, azimut y conversiones tridimensionales. (Sección).

OpenStax. Algebra and Trigonometry 2e, sección 8.1, «Graphs of the Sine and Cosine Functions». Referencia para amplitud, período y desplazamientos de una señal sinusoidal. (Sección).

Bibliografía de la parte XII · Bibliografía general

Última revisión editorial

29 de septiembre de 2026

Cierre de contenidos

29 de septiembre de 2026