Álgebra: relaciones, ecuaciones y estructuras

Una operación correcta puede conducir a una respuesta incorrecta. Elevar al cuadrado ambos lados de una igualdad verdadera conserva la igualdad; sin embargo, la nueva ecuación puede admitir valores que la original rechaza. Dividir por la incógnita puede simplificar una expresión y borrar precisamente una de sus soluciones. El problema no consiste en operar con torpeza, sino en olvidar qué información llevaba la relación antes de transformarla.

El álgebra permite tratar muchas situaciones a la vez mediante letras, operaciones y condiciones. Una letra puede representar una medida desconocida, una cantidad que cambia o un valor elegido para todo un problema. Las expresiones condensan relaciones; las ecuaciones seleccionan los valores que las satisfacen. La aritmética del capítulo anterior proporciona las operaciones, pero aquí interesa una pregunta distinta: qué puede deducirse de una relación y bajo qué condiciones sigue siendo válida la deducción.

118.1. Variables, constantes y expresiones#

Ejemplo construido. Un taller necesita asignar material a lotes de igual tamaño. Cada lote requiere cuatro metros de cinta y la preparación consume otros siete metros, cualquiera que sea el número de lotes dentro del intervalo considerado. Para seis lotes se necesitan 31 metros. Escribir sólo ese total sirve para aquella jornada; escribir la relación permite calcular otros tamaños de pedido y preguntar qué pedidos caben en una reserva disponible.

Si $n$ representa el número de lotes y $L$ la longitud total de cinta, la relación es

$n$ es un entero no negativo, un conteo sin unidad física; $L$ se expresa en metros. El coeficiente de $n$ indica el consumo de cinta por lote y el término independiente recoge la preparación. La relación presupone que el consumo por lote y la preparación no cambian dentro del rango estudiado. Una producción que exigiera reiniciar la preparación cada diez lotes necesitaría otro modelo.

Una variable es un símbolo al que se asignan valores de un dominio declarado. En esta relación $n$ puede cambiar entre pedidos. Una constante permanece fija durante el razonamiento: aquí, cuatro y siete son valores numéricos fijados por el ejemplo. Un parámetro también se mantiene fijo en un problema concreto, pero puede variar entre problemas de una misma familia. Si otros materiales requieren $a$ metros por lote y $b$ metros de preparación, la familia se escribe $L=an+b$. Los parámetros $a$ y $b$ tienen dimensiones de longitud porque $n$ es un conteo.

Estas funciones de las letras no están adheridas a su forma. En $L=an+b$, resolver un pedido puede significar buscar $n$; calibrar el consumo de un taller puede significar buscar $a$ y $b$ a partir de varios pedidos. Una incógnita es la cantidad cuyo valor se busca en aquel problema. Declarar qué se conoce y qué se busca evita tratar inadvertidamente un dato como algo ajustable.

Una expresión combina símbolos mediante operaciones. $4n+7$ es una expresión; por sí sola no afirma que sea igual a otra cantidad. Evaluarla consiste en asignar un valor permitido a cada variable y efectuar las operaciones. Para $n=6$ vale 31. La ecuación $4n+7=31$ añade una condición y pregunta qué valores la cumplen. El mismo fragmento de escritura desempeña así papeles diferentes según la afirmación de la que forme parte.

La estructura de una expresión importa. En $3(x+2)$, donde $x$ es un real, el factor tres multiplica la suma completa. Por distributividad, equivale a $3x+6$. En $3x+2$, el dos queda fuera del producto y la expresión es distinta. Una sustitución revela rápidamente la diferencia: para $x=0$, la primera vale seis y la segunda dos. El cálculo con un caso concreto puede refutar una supuesta identidad; comprobar algunos casos no demuestra que sea verdadera para todos.

Los términos semejantes comparten la misma parte variable y los mismos exponentes. $5x+2x=7x$ reúne cinco y dos veces la misma cantidad. $5x+2x^2$ no se reduce a $7x^2$ ni a $7x$: una cantidad y su cuadrado varían de manera diferente. Si $x$ tiene una unidad física, además, sumar directamente $x$ y $x^2$ requiere coeficientes que hagan compatibles sus dimensiones. La escritura compacta no exonera de comprobar qué magnitudes se están reuniendo.

El dominio forma parte de la expresión aunque no siempre figure junto a ella. $1/x$ está definida en los reales salvo cuando $x=0$. La raíz cuadrada real $\sqrt{x}$ requiere $x\ge 0$ y designa la raíz no negativa. Simplificar una expresión conserva su valor donde la transformación está definida; no concede automáticamente valores que la expresión original excluía. El tratamiento de ecuaciones racionales de OpenStax subraya la necesidad de conservar las restricciones del denominador. (OpenStax, ecuaciones lineales y racionales).

Por ejemplo,

Aquí $x$ es un real sin unidad física. El numerador puede escribirse $(x-2)(x+2)$ y se cancela el factor $x-2$ donde no vale cero. En $x=2$, la expresión izquierda no está definida, mientras la derecha vale cuatro. Las dos escrituras coinciden en el dominio original; la segunda, considerada aisladamente, permite una extensión. Esa distinción será esencial al estudiar funciones en el capítulo 119.

118.2. Igualdades, desigualdades y sistemas de ecuaciones#

Una igualdad puede enunciar una identidad o imponer una condición. La identidad $2(x+3)=2x+6$ se cumple para todo real $x$. La ecuación $2x+3=11$ sólo se cumple para $x=4$. La igualdad $2x+3=2x+5$ no se cumple para ningún real. Resolver significa determinar el conjunto completo de valores permitidos que hacen verdadera la ecuación, incluso cuando ese conjunto es vacío o contiene todos los valores del dominio.

Para resolver $2x+3=11$ se resta tres en ambos lados y resulta $2x=8$; después se divide entre dos y resulta $x=4$. Restar tres puede deshacerse sumando tres. Multiplicar por dos puede deshacerse dividiendo entre dos. Los pasos son equivalentes porque cada solución de una ecuación es solución de la siguiente y viceversa. No se limita a conservar una igualdad ya verdadera: se conserva exactamente el conjunto de soluciones.

La imagen de una balanza ayuda a entender por qué añadir la misma cantidad a ambos lados conserva un equilibrio. Su alcance es limitado. Una ecuación puede incluir cantidades negativas o representar restricciones abstractas, y no todas las transformaciones tienen un objeto físico equivalente. El argumento general se apoya en propiedades de las operaciones y en la posibilidad de recorrer los pasos en sentido inverso.

Multiplicar por cero muestra lo que falla cuando la operación no se puede deshacer. La ecuación $x=4$ se convierte en $0=0$, cierta para cualquier $x$. Se ha conservado la verdad de la solución original y se ha perdido la capacidad de distinguirla. Algo parecido sucede al elevar al cuadrado: de $x=-3$ se deduce $x^2=9$, pero la segunda ecuación también acepta $x=3$. Que una afirmación implique otra no significa que ambas sean equivalentes.

Ejemplo construido. Se busca resolver, en los reales,

La raíz exige $x\ge -6$ y, como el lado izquierdo no es negativo, cualquier solución debe cumplir además $x\ge 0$. Al elevar al cuadrado se obtiene $x+6=x^2$, es decir, $(x-3)(x+2)=0$. Aparecen los candidatos tres y menos dos. Sustituir tres en la ecuación original da $3=3$. Sustituir menos dos da $2=-2$, que es falso. La única solución es tres. El candidato extraño no es un fallo de la factorización: apareció porque el cuadrado borró el signo. (OpenStax, ecuaciones con radicales).

Dividir entre una expresión que podría valer cero produce el problema inverso. De $x(x-5)=0$, dividir entre $x$ da $x-5=0$ sólo bajo la condición $x\ne 0$. Si no se examina aparte $x=0$, se pierde una solución válida. La forma factorizada permite resolver sin dividir: en los reales, un producto es cero sólo si al menos uno de sus factores es cero. Por tanto, las soluciones son cero y cinco.

Una desigualdad selecciona valores mediante una relación de orden. Para $x$ real, $3x+2\le 14$ equivale a $x\le 4$. Restar la misma cantidad conserva el orden; multiplicar o dividir por un número positivo también. Un factor negativo invierte el orden: de $-2x<6$ se obtiene $x>-3$. En la recta numérica, cambiar signos refleja ambos valores alrededor del cero y cambia cuál queda a la derecha. (OpenStax, desigualdades).

Si se pretende multiplicar una desigualdad por $x$, antes debe conocerse su signo o separarse los casos positivo, negativo y cero. «Hacer lo mismo a ambos lados» no especifica por sí solo cómo cambia el orden. También importa si el límite está incluido: $x<4$ excluye cuatro, mientras $x\le 4$ lo incluye. Una restricción de capacidad y una prohibición estricta pueden diferir precisamente en ese punto.

Un sistema de ecuaciones exige satisfacer varias relaciones simultáneamente. Ejemplo construido. Dos preparados secos contienen cantidades de un nutriente expresadas por unidad de masa. El preparado A aporta 2 gramos por kilogramo y B aporta 5 gramos por kilogramo. Se desea una mezcla de 10 kilogramos con 32 gramos del nutriente, sin pérdidas. Si $x$ y $y$ son las masas de A y B en kilogramos, las condiciones son

Ambas masas deben ser no negativas. Sustituir $x=10\mathrm{kg}-y$ en la segunda relación produce $20\mathrm{g}+(3\mathrm{g}/\mathrm{kg})y=32\mathrm{g}$. Por tanto, $y=4\mathrm{kg}$ y $x=6\mathrm{kg}$. La comprobación recupera 10 kilogramos de mezcla y $12+20=32$ gramos del nutriente. La primera ecuación conserva masa y la segunda conserva el contenido calculado del nutriente; ninguna describe por sí sola toda la mezcla.

Para dos incógnitas reales, una ecuación lineal no degenerada se representa por una recta. Dos rectas que se cortan dan una solución única; dos paralelas distintas no dan ninguna; dos coincidentes dan infinitas. La segunda ecuación puede añadir información, contradecir la primera o repetirla. Contar ecuaciones e incógnitas no basta para decidir cuál de estas situaciones ocurre. (OpenStax, sistemas de dos variables).

En particular, $x+y=10$ y $2x+2y=20$ contienen la misma información. Añadir una copia no permite averiguar las dos cantidades por separado. Si la segunda relación fuera $2x+2y=21$, las condiciones serían incompatibles. El capítulo 124 profundizará en la independencia de las restricciones mediante álgebra lineal; aquí basta reconocer que una nueva línea escrita no garantiza una nueva condición independiente.

118.3. Polinomios, factorización y raíces#

Sumar términos construye una expresión a partir de contribuciones. Factorizar la reorganiza como producto y hace visibles otras relaciones. Para $x$ real sin unidad física,

La verificación se obtiene al distribuir el producto: $x^2-4x-3x+12$. Las dos formas son idénticas, pero responden mejor a preguntas diferentes. La expandida muestra los coeficientes; la factorizada permite ver que la expresión vale cero en tres y cuatro. Factorizar no aproxima ni cambia el problema: cambia su representación. (OpenStax, factorización).

Un polinomio en una variable es una suma finita de términos formados por coeficientes y potencias enteras no negativas de aquella variable. $3x^4-2x+8$ es un polinomio; $1/x$, $\sqrt{x}$ y $2^x$ no lo son. El grado de un polinomio no nulo es el mayor exponente cuyo coeficiente no es cero. En el ejemplo es cuatro. Un polinomio constante no nulo tiene grado cero; el polinomio cero requiere una convención aparte y no se le asigna aquí un grado ordinario.

Una raíz o cero de un polinomio es un valor de la variable que lo hace valer cero. El dominio elegido determina qué raíces se admiten. $x^2-2$ tiene raíces reales $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$, pero ninguna racional. $x^2+1$ no tiene raíces reales porque un cuadrado real nunca es negativo. En los complejos tiene las raíces $i$ y $-i$, donde $i^2=-1$. Un fracaso al factorizar con números enteros no demuestra que no existan raíces en un conjunto más amplio.

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales,

$x$ es la incógnita; $a$, $b$ y $c$ son coeficientes fijos. En esta discusión son números sin unidades físicas. La exigencia $a\ne 0$ evita llamar cuadrática a una ecuación que ya no contiene un término de segundo grado. Dividir entre $a$ y reunir el término constante da $x^2+(b/a)x=-c/a$. Añadir $(b/2a{)}^2$ a ambos lados convierte el lado izquierdo en un cuadrado completo:

La expresión $D=b^2-4ac$ se llama discriminante. Si $D>0$, el cuadrado tiene dos raíces reales y aparecen dos soluciones distintas. Si $D=0$, hay una raíz real repetida. Si $D<0$, no hay soluciones reales; al trabajar en los complejos aparecen dos raíces conjugadas. Deshacer el cuadrado y despejar conduce a

El signo $\pm$ indica las dos elecciones de signo, que coinciden cuando $D=0$. La fórmula no es una instrucción ajena al resto del álgebra: resume la transformación reversible de una ecuación de segundo grado mediante completar el cuadrado. La discusión del discriminante y de este procedimiento puede ampliarse en el manual de OpenStax. (Ecuaciones cuadráticas).

El signo de $D$ informa del número de raíces reales distintas, pero no determina por sí solo si son racionales. Esa pregunta depende también de los coeficientes. Para $x^2-7x+12$, $D=1$ y las raíces son tres y cuatro. Para $x^2-2$, $D=8$ y las raíces son irracionales. No debe trasladarse una regla sobre coeficientes enteros a coeficientes reales arbitrarios sin conservar la condición que la justificaba.

La repetición de una raíz también contiene información. $(x-2{)}^2=0$ tiene una sola solución distinta, dos, aunque el factor aparezca dos veces. Se dice que su multiplicidad es dos. No hay dos valores escondidos en el mismo punto. Las multiplicidades cuentan repeticiones de factores; las soluciones distintas cuentan valores diferentes. El capítulo siguiente relacionará estas representaciones con la forma de una gráfica, sin convertir cada intersección dibujada en una prueba de exhaustividad.

118.4. Estructuras algebraicas y operaciones#

Las reglas anteriores se apoyaban en propiedades de los reales. El álgebra también estudia conjuntos de objetos para los cuales algunas de esas propiedades se conservan y otras cambian. La abstracción consiste en separar lo que se deduce de ciertas reglas de lo que depende de la naturaleza particular de los objetos. Puede tratarse de números, giros o transformaciones, siempre que se haya definido cómo combinarlos.

Una operación binaria asigna un resultado único a cada par de elementos de un conjunto. Hay cierre cuando el resultado sigue dentro de ese conjunto. Sumar dos enteros siempre da otro entero; dividirlos no siempre. Por ello, si se exige que todos los resultados sean enteros, la división habitual no es una operación definida para todos los pares. Cambiar el conjunto no es una modificación superficial: cambia qué operaciones se pueden ejecutar sin salir de él.

Un grupo reúne un conjunto y una operación cerrada, asociativa, con elemento neutro y con inverso para cada elemento. El neutro deja cualquier elemento igual; el inverso permite volver al neutro. Los enteros con la suma forman un grupo: el neutro es cero y el inverso de $n$ es $-n$. Los enteros con la multiplicación no forman un grupo: dos no tiene inverso multiplicativo entero. No basta conocer el conjunto para identificar la estructura; debe indicarse también la operación.

La conmutatividad no es un requisito general de los grupos. Cuando existe, el grupo se llama abeliano. Esta separación permite describir operaciones para las cuales el orden sí importa. Un giro de un cuadrado seguido de una reflexión puede producir un resultado diferente de efectuar la reflexión antes del giro. Ambas composiciones son operaciones legítimas, pero no intercambiables. Las definiciones de grupo y de grupo abeliano, así como ejemplos numéricos y geométricos, se desarrollan en Judson. (Abstract Algebra: Theory and Applications, capítulo 3).

Ejemplo construido. Se considera sólo girar un cuadrado alrededor de su centro, en el plano, por múltiplos de un cuarto de vuelta. Hay cuatro transformaciones distintas: no girar, girar un cuarto, media vuelta o tres cuartos. La operación es efectuar un giro después de otro, no sumar las posiciones físicas de los vértices. Dos giros de tres cuartos equivalen a un giro de media vuelta, porque seis cuartos contienen una vuelta completa y otros dos cuartos. El neutro es no girar; el inverso de un cuarto de vuelta es tres cuartos. Los cuatro giros forman un grupo bajo composición.

Un anillo combina dos operaciones, suma y multiplicación. La suma forma un grupo abeliano; la multiplicación es asociativa y se distribuye respecto de la suma por ambos lados. Se emplea aquí una definición que no exige por sí sola un neutro multiplicativo; cuando existe, se habla de anillo con unidad. Los enteros con sus operaciones habituales ofrecen un ejemplo con unidad. No se exige que todo elemento no nulo tenga inverso multiplicativo.

Un cuerpo es un anillo con multiplicación conmutativa, unidad distinta de cero e inverso multiplicativo para cada elemento no nulo. Los racionales, reales y complejos son cuerpos con sus operaciones habituales; los enteros no. Poder dividir entre cualquier número distinto de cero es una propiedad disponible en un cuerpo, no una autorización universal para dividir objetos de cualquier estructura. Estas distinciones siguen las definiciones y los ejemplos de los capítulos 16.1 y 16.2 del manual de Judson. (Anillos y cuerpos).

Incluso la regla del producto nulo necesita una condición. En la aritmética de restos al dividir entre seis, representada por $0,1,2,3,4,5$, multiplicar dos por tres produce el resto cero, aunque ninguno de los factores sea el resto cero. Este sistema es un anillo y posee divisores de cero. Si se lo tratara como los reales, se deduciría falsamente que dos o tres deben ser cero. No hace falta memorizar una taxonomía completa para advertir la consecuencia: una manipulación sólo se justifica con las propiedades de la estructura en uso.

118.5. Resolver no es solo manipular símbolos#

Una ecuación aplicada empieza antes del primer despeje. Hay que decidir qué cantidades representa, qué relaciones se presuponen exactas y qué valores admite la situación. En el taller de cinta, disponer de 31 metros conduce a $4n+7\le 31$, si pueden sobrar metros. Si se exige consumir toda la reserva, la condición es una igualdad. Son problemas diferentes aunque utilicen la misma expresión de consumo.

Ejemplo construido. Con 30 metros disponibles, la igualdad $4n+7=30$ da $n=5,75$. Ese valor resuelve la ecuación en los reales, pero no describe un número permitido de lotes completos. Para encontrar cuántos pueden hacerse, la condición adecuada es $4n+7\le 30$ con $n$ entero no negativo. Resulta $n\le 5,75$ y el máximo permitido es cinco. Redondear seis consumiría 31 metros y violaría la restricción. La elección del dominio y del sentido de la relación hace más trabajo que el despeje.

También debe distinguirse una igualdad matemática de una aproximación empírica. Un consumo observado puede variar entre lotes, y una medida de cinta puede tener incertidumbre. Reemplazar esos datos por números exactos crea un modelo cuyo resultado es exacto dentro de sus supuestos. No vuelve exactos los procesos representados. La medición y el tratamiento de incertidumbres se desarrollarán en los capítulos 131 y 132; la obligación algebraica presente es no borrar su existencia al pasar a símbolos.

La comprobación por sustitución verifica que un candidato cumple las ecuaciones originales. No demuestra, por sí sola, que se hayan encontrado todos los candidatos. Para justificar exhaustividad hay que explicar cómo se cubrieron los casos: mediante pasos equivalentes, separando los valores excluidos por una división o examinando todas las ramas de una factorización. En una ecuación con radicales, la sustitución descarta candidatos extraños; en una ecuación donde se dividió por la incógnita, no recupera automáticamente la solución que nunca llegó a la lista.

Cuando se busca una aproximación, conviene además distinguir un valor cercano a una raíz de una igualdad casi satisfecha. Para una ecuación $f(x)=0$, $f$ representa la expresión cuyo cero se busca, y $f(x)$ es el residuo al probar un valor. Un residuo pequeño no garantiza siempre un error pequeño en $x$. La ecuación $0,001x=1$, con números sin unidades, tiene solución mil; el candidato 990 deja un residuo de menos una centésima y difiere de la solución en diez. La escala y sensibilidad de la relación determinan cómo interpretar aquella discrepancia.

Si una solución viola una restricción física, puede haber un error de cálculo, un dato incompatible o una relación que no describe el proceso. El álgebra permite distinguir algunas posibilidades, pero no decide por sí sola cuál de ellas explica la situación observada. En el sistema de mezclas, pedir más de 50 gramos del nutriente con sólo 10 kilogramos de los dos preparados sería imposible bajo los contenidos fijados: aun usando exclusivamente B se alcanzarían como máximo 50 gramos. Una masa negativa obtenida al resolver señalaría la incompatibilidad del pedido con el modelo, no una técnica para fabricar masa negativa.

El resultado útil de resolver es una afirmación completa: cuáles son los valores, en qué dominio, con qué condiciones y por qué no se han omitido otros. Esa forma de cierre conserva lo que las letras permitieron comprimir. En el capítulo 119, las relaciones se estudiarán como dependencias entre entradas y salidas; aquí queda establecido qué puede cambiar en la escritura sin cambiar la afirmación que se pretende sostener.

Preguntas de transferencia#

La cancelación que oculta una posibilidad#

Se resuelve $x^2=6x$ en los reales y se divide entre $x$ para concluir $x=6$. ¿Qué falta en ese razonamiento?

Una raíz real que no describe el objeto#

Ejemplo construido. Un rectángulo tiene área de 40 metros cuadrados y su lado mayor mide tres metros más que el menor. Si el lado menor es $x$, expresado en metros, el modelo es $x(x+3\mathrm{m})=40{\mathrm{m}}^2$. ¿Por qué una raíz de la ecuación puede descartarse sin considerarla un error algebraico?

Dos registros que no separan los componentes#

Ejemplo construido. Un inventario declara 18 unidades entre dos categorías. Un segundo registro declara 36 unidades al contar cada objeto dos veces. ¿Es posible reconstruir cuántos pertenecen a cada categoría?

El producto nulo en otro dominio#

En una aritmética que sólo conserva restos al dividir entre diez, el producto de dos y cinco es el resto cero. ¿Permite concluir que uno de los factores es cero? ¿Permite cancelar el dos en $2\times 1=2\times 6$ dentro de esa aritmética?

Fuentes y lecturas del capítulo#

OpenStax. College Algebra 2e, sección 2.2, «Linear Equations in One Variable». Referencia para equivalencia, tipos de soluciones y restricciones de ecuaciones racionales. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 2.6, «Other Types of Equations». Apoya la distinción entre candidatos y soluciones de ecuaciones con radicales, incluidas las soluciones extrañas. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 2.7, «Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities». Lectura sobre transformaciones que conservan o invierten el orden y representación de conjuntos solución. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 7.1, «Systems of Linear Equations: Two Variables». Desarrolla la interpretación de soluciones únicas, incompatibilidad y dependencia de dos ecuaciones lineales. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 1.5, «Factoring Polynomials». Referencia para la relación entre expansión y factorización; el capítulo explicita el dominio de coeficientes cuando cambia la posibilidad de factorizar. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 2.5, «Quadratic Equations». Apoya completar el cuadrado y la clasificación de raíces reales por el signo del discriminante. (Sección).

Thomas W. Judson. Abstract Algebra: Theory and Applications, versión del 15 de agosto de 2014, capítulos 3 y 16. Referencia para grupos, anillos, cuerpos, inversos y divisores de cero; permite continuar hacia una presentación formal de las estructuras. (Libro abierto).

Bibliografía de la parte XII · Bibliografía general

Última revisión editorial

29 de septiembre de 2026

Cierre de contenidos

29 de septiembre de 2026