Números, cantidades y representación

El capítulo 4 estableció una primera precaución: una cifra puede contar, medir, comparar o identificar, y esas funciones no autorizan las mismas operaciones. Aquí se retoma esa distinción para responder una pregunta más profunda. ¿Qué debe conservar una representación para que dos escrituras designen el mismo número, y por qué algunas operaciones obligan a ampliar la familia de números disponible?

Una cantidad puede permanecer igual mientras cambia su escritura, como sucede al expresar una longitud en metros o centímetros. También puede permanecer la escritura y cambiar el significado: 12 recipientes, 12 litros y el recipiente número 12 no afirman lo mismo. Separar objeto, número, numeral y unidad permite seguir la construcción de los sistemas numéricos sin confundir una convención de escritura con una propiedad de aquello que se describe.

116.1. Contar, ordenar, medir y codificar#

Contar una colección exige decidir qué constituye una unidad de conteo. Si se cuentan recipientes, uno agrietado sigue siendo un recipiente; si se cuentan recipientes utilizables, hace falta otro criterio. El resultado depende de esa definición y de evitar omisiones y duplicaciones. Como ya ocurría con los denominadores del capítulo 4, el número no conserva por sí mismo la regla que produjo el registro: esa regla debe viajar con el dato cuando afecta a su interpretación.

En una colección finita, el conteo asigna una posición a cada elemento y termina en un número que expresa cuántos hay. Ese tamaño es su cardinalidad. Si cada recipiente se empareja con una etiqueta y no sobra ninguno de los dos, ambas colecciones tienen igual cardinalidad. No hace falta que los objetos se parezcan. La correspondencia conserva una relación de cantidad, no las propiedades de sus integrantes.

El orden responde a otra pregunta. El quinto recipiente de una fila ocupa una posición, pero esa posición no informa sobre su volumen ni sobre la distancia al anterior. Un número ordinal expresa lugar en una secuencia. Al reordenar la fila cambian los ordinales de los objetos y se conserva su cantidad total. Confundir posición y cantidad convierte una convención de organización en una propiedad inexistente.

Medir un volumen requiere comparar algo divisible con un volumen de referencia. El resultado puede ser fraccionario porque el objeto medido no tiene que contener un número entero de unidades. Si una vasija contiene una vez y media la unidad elegida, su volumen se expresa con 1,5 de esas unidades. Contar vasijas y medir su contenido son operaciones relacionadas, pero la primera trata objetos delimitados y la segunda trata una magnitud que puede variar dentro de cada objeto.

Ejemplo construido. Dos depósitos tienen siete vasijas cada uno. Las del primero contienen 2 litros por vasija y las del segundo, 3 litros. Las colecciones son iguales en cantidad de vasijas y diferentes en volumen almacenado: 14 y 21 litros. La frase «los depósitos tienen lo mismo» es incompleta hasta identificar la propiedad comparada. Tampoco cabe deducir que las vasijas del segundo sean mejores; falta el propósito que permitiría evaluar esa diferencia.

Al codificar se asigna un símbolo para reconocer una categoría o un individuo. El identificador 007 puede conservar sus ceros iniciales porque forma parte de una regla de etiquetado. El número siete, en cambio, conserva su valor al escribirse como 7 o 007 en una notación decimal que admite ceros iniciales. Un programa que transforma todos los registros en cantidades podría borrar una distinción necesaria para identificar objetos.

También es posible usar cifras para categorías ordenadas. Una clasificación de daño del 1 al 4 puede establecer que 4 representa más daño que 3 sin afirmar que el salto de 3 a 4 equivale al salto de 1 a 2. El orden es información real; la igualdad de intervalos necesita justificación adicional. Una codificación no adquiere todas las propiedades de los números sólo porque utilice sus signos.

Estas diferencias deciden qué se puede inferir. En una medición de longitud con el mismo origen y unidad, una diferencia tiene significado físico. En una clasificación ordinal, una diferencia entre códigos puede reflejar únicamente el diseño de la escala. Conocer el procedimiento que produjo el registro es parte de conocer el dato. Los capítulos sobre medición y estadística desarrollarán las consecuencias de esa exigencia.

116.2. Naturales, enteros, racionales, reales y complejos#

Las familias numéricas permiten realizar operaciones que una familia anterior no siempre admite. Los naturales sirven para contar. En este capítulo se adopta la convención de incluir el cero: $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$. Otras obras reservan ese nombre para los números que comienzan en uno; la diferencia es de notación y debe declararse. Cero recipientes significa una colección vacía dentro de un universo definido. No significa que falte el registro.

La resta introduce una dificultad. Con siete recipientes se pueden retirar tres y conservar cuatro; retirar diez exige describir un faltante o cambiar la situación. Los enteros, escritos $\mathbb{Z}$, incorporan números negativos junto con el cero y los positivos. En una cuenta de diferencias, $7-10=-3$ expresa que faltan tres para alcanzar diez. No afirma que existan tres recipientes físicos negativos. El signo obtiene su interpretación del modelo utilizado.

Compartir una cantidad plantea otra ampliación. Dividir tres unidades entre cuatro partes iguales produce $3/4$. Los racionales, escritos $\mathbb{Q}$, son los números que pueden expresarse como $p/q$, con $p$ y $q$ enteros y $q\ne 0$. Todos los enteros pertenecen a esta familia porque cualquier entero $p$ equivale a $p/1$. Varias fracciones pueden representar el mismo número: $3/4$ y $6/8$ describen la misma proporción aunque subdividan de forma diferente la unidad.

La exclusión del denominador cero tiene una razón. Dividir tres entre cuatro busca un número que, multiplicado por cuatro, produzca tres. Dividir tres entre cero buscaría un número que, multiplicado por cero, produjera tres; no existe. En $0/0$, todos los números satisfacen la igualdad de multiplicación, de modo que tampoco aparece un resultado único. La división ordinaria necesita ambas cosas: existencia y determinación de la respuesta.

No toda longitud geométrica queda representada por una fracción de enteros. En un cuadrado ideal con lado de una unidad, la diagonal tiene longitud $\sqrt{2}$ unidades. El símbolo $\sqrt{2}$ designa el número positivo cuyo cuadrado es dos. Su escritura es exacta; 1,414 es una aproximación decimal. Tener una expresión exacta no exige disponer de una lista finita de cifras decimales.

La imposibilidad de escribir $\sqrt{2}$ como fracción se demuestra, no se decide por observar muchas cifras. Supóngase que fuese $p/q$ en una fracción reducida. La igualdad $p^2=2q^2$ obliga a que $p$ sea par, pues el cuadrado de un impar es impar. Al escribir $p=2k$, donde $k$ es un entero, resulta $q^2=2k^2$, por lo que también $q$ debe ser par. Ambos compartirían el factor dos, en contradicción con la fracción reducida. El supuesto inicial era imposible.

Los números que no son racionales pero pertenecen a la recta numérica se llaman irracionales. Racionales e irracionales forman los reales, $\mathbb{R}$. Entre dos racionales diferentes siempre puede situarse otro racional, por ejemplo su promedio. Sin embargo, esa densidad no basta para que los racionales contengan todas las posiciones de la recta. La diagonal anterior muestra una posición que las fracciones pueden aproximar tanto como se quiera y que ninguna fracción alcanza exactamente.

En la representación decimal, un racional tiene una expansión finita o eventualmente periódica, es decir, con un bloque que se repite desde cierta posición. El proceso de división explica el patrón: al dividir enteros sólo hay un número finito de restos posibles; aparece resto cero o se repite alguno, y desde allí se repiten los pasos. Una expansión infinita no periódica corresponde a un irracional. Una pantalla finita no permite reconocer por sí sola cuál de esos comportamientos continúa después de las cifras visibles. (OpenStax, números racionales).

Esta relación entre familias no divide los números en casillas excluyentes. Cinco es natural, entero, racional y real. La clasificación más específica depende de la pregunta. Tampoco convierte cualquier fenómeno físico en algo exactamente representable por un real conocido: una magnitud puede modelarse mediante reales mientras su medición proporciona únicamente una estimación.

Queda una restricción de los reales: el cuadrado de cualquier real es no negativo, de modo que ningún real satisface $x^2=-1$. Los complejos, $\mathbb{C}$, incorporan un número $i$ definido por $i^2=-1$. Cada complejo puede escribirse $z=a+bi$, donde $a$ y $b$ son reales y $z$ es el número representado. $a$ es su parte real y $b$ su parte imaginaria; esta última es un número real, aunque su nombre pueda inducir a confusión. (MIT OpenCourseWare, álgebra de los números complejos).

Un complejo se sitúa en un plano mediante las coordenadas $(a,b)$. Los reales aparecen en el eje horizontal porque tienen $b=0$. Esta ampliación permite expresar relaciones que no caben en una sola coordenada, sin convertir «imaginario» en sinónimo de ficticio. No existe un orden de todos los complejos que reproduzca a la vez las reglas habituales de orden, suma y multiplicación de los reales. Se puede comparar la distancia al origen, pero esa comparación responde a una pregunta diferente.

No hace falta emplear la familia más amplia en toda tarea. Para contar un conjunto finito basta un natural; para conservar una proporción exacta puede convenir un racional. La elección se justifica por las relaciones que deben mantenerse, no por una jerarquía de prestigio matemático. Las operaciones y las ecuaciones se desarrollan en los capítulos siguientes.

116.3. Sistemas de numeración, bases y notación posicional#

El número y el numeral son distintos. El primero es el objeto matemático; el segundo es una escritura que lo representa. La palabra «trece», el numeral decimal 13 y el numeral binario 1101 pueden designar el mismo número. Una conversión correcta cambia el sistema de escritura y conserva el valor. Este principio evita interpretar una cadena de dígitos sin conocer la regla que la organiza.

En la notación decimal, cada posición pesa diez veces la situada a su derecha. El numeral 305 significa tres centenas, ninguna decena y cinco unidades. El cero no añade unidades, pero conserva el lugar de las decenas. Si se suprime, 35 representa otro valor. La escritura permite distinguir ausencia de una agrupación y ausencia del número entero.

La base es el factor de agrupación entre posiciones consecutivas. En los sistemas posicionales ordinarios de base entera $b\ge 2$, los dígitos representan valores de cero a $b-1$. La potencia $b^k$ significa multiplicar $b$ por sí mismo $k$ veces cuando $k$ es un entero positivo; $b^0=1$. Cada posición entera cuenta grupos del tamaño que corresponde a una de esas potencias. (Doerr y Levasseur, representación binaria de enteros).

Ejemplo construido. Una colección de trece fichas puede agruparse en una decena y tres unidades. Si se agrupa de dos en dos, contiene un grupo de ocho, uno de cuatro, ninguno de dos y una ficha suelta. Por tanto,

Los subíndices indican la base y no son parte del valor contado. El grupo de ocho contiene dos grupos de cuatro; cada grupo de cuatro, dos de dos. La cadena 1101 no significa mil ciento uno cuando se especifica base dos. Las fichas permanecen iguales durante la conversión.

Las posiciones a la derecha del separador decimal subdividen la unidad. En 0,375 hay tres décimas, siete centésimas y cinco milésimas, cuyo total es $375/1000=3/8$. La misma fracción admite una escritura binaria finita: $0,{011}_2=0/2+1/4+1/8$. Cambiar la base puede cambiar tanto los dígitos como la longitud de la escritura.

Una fracción reducida tiene escritura finita en una base si su denominador divide alguna potencia de esa base. La razón es directa: un numeral con $k$ posiciones fraccionarias representa un entero dividido por $b^k$. En base diez, eso permite denominadores con factores primos dos y cinco; en base dos, sólo potencias de dos. Por eso $1/10$ termina en decimal y necesita una expansión infinita en binario. El número sigue siendo racional en ambos casos.

Una expansión también puede ser exacta sin terminar. $0,333\dots$ significa que el tres se repite indefinidamente; bajo esa convención expresa $1/3$. $0,333$ designa un número diferente. Los puntos suspensivos necesitan una regla: «se repite este bloque» o «la secuencia procede de esta definición». Una lista incompleta de cifras no determina por sí sola cómo continúa.

El separador entre parte entera y fraccionaria es una convención de escritura. Aquí se usa coma decimal y se separan agrupaciones grandes con espacios. El punto se usa como separador decimal en otras tradiciones y en muchos sistemas informáticos. La cadena «1,250» puede generar una confusión de factor mil al circular sin contexto. Una tabla destinada a intercambiarse debe declarar su convención y conservarla.

116.4. Magnitud, signo, escala y unidades#

Una longitud no es el número que aparece antes del símbolo de unidad. El mismo tramo puede expresarse como 2 metros o 200 centímetros. El valor numérico aumenta al elegir una unidad menor, mientras la longitud permanece igual. Para una magnitud escalar, la representación puede escribirse $Q=nu$, donde $Q$ es la magnitud, $n$ su valor numérico y $u$ la unidad elegida. No son tres objetos independientes: cambiar $u$ exige ajustar $n$ para conservar $Q$. (BIPM, folleto del Sistema Internacional, sección 2.1).

Ejemplo construido. Una ficha de una pieza dice «longitud: 240» y otra «longitud: 24». La primera podría usar milímetros y la segunda centímetros; ambas describirían la misma longitud. Comparar los números sin las unidades no permite concluir que una pieza sea diez veces más larga. La unidad no es una nota accesoria añadida al final del cálculo: interviene en lo que el registro afirma.

El signo distingue situaciones que la magnitud absoluta no separa. En una coordenada horizontal, $-4$ y $4$ pueden corresponder a puntos a la misma distancia del origen y en sentidos opuestos. El valor absoluto de un real es su distancia a cero en la recta: $|-4|=4$. La distancia es no negativa; la coordenada puede ser negativa. Quitar el signo conserva una información y elimina otra.

Una posición exige origen y sentido positivo. Si se cambia el origen de una regla, pueden cambiar todas las coordenadas sin que se mueva ninguno de los puntos. Las diferencias entre coordenadas, con una unidad y orientación comunes, conservan la separación orientada. La elección del cero resulta por ello decisiva al interpretar razones: estar en la coordenada ocho no significa estar físicamente «el doble de lejos» que en cuatro salvo que se haya establecido desde dónde se mide.

Las escalas de temperatura ofrecen una advertencia semejante. Un valor de 20 grados Celsius no representa el doble de temperatura termodinámica que 10 grados Celsius. El cero de esa escala no es el cero de temperatura termodinámica. El cambio entre Celsius y kelvin incluye un desplazamiento del origen, además de conservar el tamaño de los intervalos. Las razones de temperatura termodinámica requieren kelvin, no una escala elegida por conveniencia cotidiana.

La dimensión física indica el tipo de magnitud, como longitud o tiempo; la unidad fija la referencia para expresarla. Metros y centímetros tienen la misma dimensión. Un segundo no se convierte en metros mediante un cambio de prefijo: hace falta una relación adicional, por ejemplo una velocidad y las condiciones que permitan usarla. Tampoco tiene sentido sumar directamente 2 metros y 3 segundos. La posibilidad de escribir una operación no garantiza su coherencia física.

En un eje lineal, distancias gráficas iguales representan diferencias numéricas iguales. En una escala logarítmica, que el capítulo 117 explicará, representan razones iguales. Tres puntos igualmente espaciados podrían etiquetarse 1, 10 y 100. Leer ese eje como si cada separación fuera una diferencia constante transforma el sentido de la figura. La escala visual pertenece a la definición de la representación.

116.5. Qué puede perderse al representar una cantidad#

Representar implica seleccionar. El conteo conserva cuántos objetos satisfacen un criterio y descarta muchas diferencias entre ellos. Un promedio conserva un aspecto de una colección y puede ocultar cómo se distribuyen sus valores. Un mapa numérico de coordenadas puede describir posiciones sin identificar los objetos situados allí. La selección es útil cuando responde a la pregunta; resulta engañosa cuando se olvida lo que ha eliminado.

Hay pérdidas que afectan al propio valor numérico. Si dos longitudes estimadas de 1,241 y 1,244 metros se registran ambas como 1,24 metros, el redondeo impide recuperar cuál se había obtenido. Es una transformación de varios valores en una escritura común. El registro más corto puede ser adecuado para una decisión, pero no conserva todas las diferencias que contenía el anterior.

Resolución designa aquí el paso entre valores distinguibles en una representación. Un indicador que muestra centésimas no permite distinguir en pantalla 1,241 de 1,244 si ambos se redondean igual. Esa resolución no demuestra que el instrumento esté bien calibrado ni que la estimación sea fiable hasta la centésima. Los dígitos visibles describen el formato del registro; la incertidumbre exige conocer el procedimiento de medición.

Un cálculo exacto sobre datos aproximados no convierte esos datos en exactos. Si una longitud estimada se multiplica por diez, pueden aparecer más cifras en la pantalla, pero no se obtiene nueva evidencia sobre la pieza. Esta distinción separa precisión aritmética y conocimiento del mundo. En cambio, una cantidad definida por convenio o por conteo bajo condiciones controladas puede tener un estatuto distinto de una lectura instrumental.

Los ordenadores añaden un límite de almacenamiento. Un formato con una cantidad fija de posiciones sólo puede distinguir un número finito de estados. En la aritmética binaria de coma flotante habitual, números como $1/10$ se almacenan mediante una aproximación. La documentación de Python muestra que tres sumandos escritos como 0,1 no tienen por qué producir un valor exactamente igual al almacenado al escribir 0,3. La discrepancia procede de la representación finita y de los redondeos, no de que la suma matemática haya dejado de valer. (Python, aritmética de coma flotante).

Esa limitación no obliga a abandonar el cálculo numérico. Obliga a elegir una representación compatible con la tarea. Una fracción almacenada como numerador y denominador puede conservar exactamente $1/3$; un formato decimal apropiado puede conservar ciertos valores monetarios. Cada opción tiene restricciones de memoria y cálculo. No existe un formato finito que conserve todos los números reales con exactitud.

También se pierde significado cuando se borra contexto. Un cero de producción puede indicar que no se produjo nada, que el sensor registró cero o que un programa sustituyó por cero una casilla vacía. Son situaciones diferentes. El valor ausente debe mantenerse distinguible del cero observado si esa diferencia afecta a la interpretación. La representación incluye convenciones para los casos en que no hay un valor numérico disponible.

La pregunta pertinente no es si una representación conserva todo, sino si conserva lo necesario. Para pedir cajas completas interesa un conteo entero; para repartir contenido interesa una fracción; para comunicar una medición hacen falta unidad, alcance y calidad del registro. Saber leer números consiste en reconocer esas condiciones antes de calcular. El capítulo siguiente parte de ellas para explicar qué relaciones sostienen las operaciones y cómo comprobar sus resultados.

Preguntas de transferencia#

Una etiqueta que parece una medida#

Ejemplo construido. Dos muestras están identificadas como 18 y 36. Un informe afirma que la segunda contiene el doble de material. ¿Qué permite concluir el registro?

Más cifras sin más longitud#

Ejemplo construido. Una pieza aparece como 0,8 metros en un documento y 800 milímetros en otro. ¿Ha aumentado el valor físico? ¿El segundo registro es necesariamente más preciso?

Una pantalla no prueba irracionalidad#

Ejemplo construido. Una calculadora muestra 1,414213562 al evaluar una expresión. ¿Basta para probar que el resultado exacto es irracional?

El mismo numeral en dos bases#

Ejemplo construido. Una transmisión contiene 100 y no especifica la base. Una persona interpreta cien unidades y otra cuatro. ¿Cuál cometió un error aritmético?

Fuentes y lecturas del capítulo#

OpenStax. College Algebra 2e, sección 1.1, «Real Numbers: Algebra Essentials». Referencia abierta utilizada para contrastar la clasificación de números y las propiedades elementales; su convención sobre naturales comienza en uno, mientras este capítulo declara explícitamente la inclusión del cero. (Sección del manual).

OpenStax. Contemporary Mathematics, sección 3.4, «Rational Numbers». Apoya la relación entre fracciones y escrituras decimales finitas o periódicas. La clasificación se separa aquí de cualquier intento de probar irracionalidad observando únicamente cifras de una calculadora. (Sección del manual).

Al Doerr y Ken Levasseur. Applied Discrete Structures, sección 1.4, «Binary Representation of Positive Integers», disponible en Mathematics LibreTexts. Referencia para agrupación, valor posicional y conservación del número al convertir su escritura. (Sección del manual).

MIT OpenCourseWare. 18.03 Differential Equations, primavera de 2010, notas suplementarias, capítulo 5, «The algebra of complex numbers». Verifica la identificación de complejos con pares reales, la parte imaginaria como coeficiente real y la diferencia entre módulo y orden. (Notas abiertas, PDF).

Bureau international des poids et mesures. The International System of Units (SI), novena edición, versión 4.01. Las secciones 2.1, 2.3.1 y 5.4 fundamentan la distinción entre magnitud, valor numérico y unidad, la relación entre Celsius y kelvin y las convenciones de escritura de resultados. (Documento oficial, PDF).

Python Software Foundation. The Python Tutorial, sección 15, «Floating-Point Arithmetic: Issues and Limitations». Documentación oficial usada para contrastar la representación binaria finita de fracciones decimales y sus consecuencias observables al sumar. (Documento).

Bibliografía de la parte XII · Bibliografía general

Última revisión editorial

29 de septiembre de 2026

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29 de septiembre de 2026