Modelos matemáticos, demostración y límites

Una regla puede funcionar en todos los casos examinados y fallar en el siguiente. Una ecuación puede reproducir exactamente una señal y no permitir conocer por separado las magnitudes que la producen. Son límites distintos: en el primer caso falta una justificación universal; en el segundo, la información disponible no distingue explicaciones dentro del propio modelo.

Las matemáticas proporcionan estructuras para razonar y métodos para comprobar consecuencias. Al aplicarlas, hay que precisar además qué representan los símbolos, cómo se observaron sus valores y para qué condiciones sirve la representación. Una demostración no requiere repetir físicamente todos los casos que abarca. Un modelo del mundo, aunque esté bien calculado, necesita contraste con evidencia. Este capítulo reúne ambas formas de justificación y examina dónde pueden separarse.

130.1. Definiciones, axiomas, teoremas y contraejemplos#

Una definición fija el significado de un término. Definir «múltiplo de tres» como un entero de la forma $3k$, con $k$ entero, permite transformar una expresión verbal en una condición manipulable. No demuestra que un número concreto tenga esa propiedad. Para decidir si treinta y nueve la cumple se exhibe $k=13$; para una afirmación sobre todos los enteros hace falta un razonamiento que cubra el dominio.

Los axiomas son supuestos de partida de una teoría. Los teoremas son afirmaciones demostradas a partir de ellos, definiciones y resultados previos. Un lema suele ser un resultado auxiliar; un corolario se obtiene de otro resultado. Esos nombres organizan un argumento, no asignan diferentes grados de verdad. Una conjetura propone una afirmación cuya demostración aún no se ha establecido en el contexto considerado. (Hammack, definiciones y teoremas, capítulo 4).

La especificación del dominio importa. «Todo número distinto de cero tiene inverso multiplicativo» vale en los racionales y los reales, pero no en los enteros: el inverso de dos sería $1/2$, fuera del conjunto. No es una disputa sobre el mismo enunciado completo, porque cambió dónde se exige que viva el inverso. Del mismo modo, una operación válida dentro de una estructura numérica puede fallar al cambiar las propiedades de esa estructura. La hipótesis que autoriza el paso debe conservarse cuando se aplica una regla.

Una afirmación universal se rechaza mostrando un caso admitido que la incumple: un contraejemplo. La expresión $n^2+n+11$ produce números primos para los enteros de cero a nueve. Esos diez éxitos no demuestran que produzca un primo para todo entero no negativo: con $n=10$ se obtiene $121={11}^2$. No hace falta probar que la regla falla frecuentemente. Un solo caso basta para negar el «para todo».

En cambio, una afirmación de existencia puede demostrarse mediante un ejemplo que la satisface. Para «existen enteros $a,b$ con $3a+2b=7$», basta exhibir $a=1$, $b=2$ y comprobar la igualdad. Eso no demuestra unicidad: $a=3$, $b=-1$ también funciona. Existir, ser único y funcionar para todos son preguntas diferentes; su gramática lógica determina qué prueba necesita cada una.

Una demostración conserva esa estructura. Cada paso debe seguir de una regla permitida o de información ya establecida. Un dibujo puede sugerir una relación y una tabla puede descubrir un patrón, pero la conclusión debe corresponder a lo que realmente se justificó. Si se han enumerado exhaustivamente todos los casos de un conjunto finito, la comprobación puede constituir una prueba. Si sólo se exploró una parte de un dominio infinito, el éxito no elimina los casos restantes.

También es importante qué significa refutar una aplicación. Si una medición contradice una predicción, puede fallar el modelo, una condición inicial, la medición o el cálculo. No se ha refutado por ello el teorema matemático utilizado correctamente bajo sus hipótesis. El análisis debe localizar qué conexión de la cadena no se sostiene. Invocar «la fórmula es exacta» no resuelve esa conexión con los hechos.

130.2. Estrategias de demostración#

La prueba directa parte de las hipótesis y construye la conclusión. Para demostrar que la suma de dos múltiplos de tres sigue siendo múltiplo de tres, se escribe $a=3r$ y $b=3s$, con $r,s$ enteros. Entonces $a+b=3(r+s)$; como $r+s$ es entero, la definición se cumple. El argumento no depende de magnitudes particulares. Explica por qué los ejemplos funcionan y cubre positivos, negativos y cero dentro del dominio declarado.

Cuando una implicación resulta difícil de abordar desde su hipótesis, puede probarse su contrapositiva. «Si $P$, entonces $Q$» equivale, en la lógica clásica empleada aquí, a «si no $Q$, entonces no $P$». No equivale a su conversa, «si $Q$, entonces $P$». La diferencia no es un detalle verbal: invertir una implicación sin justificación puede convertir una prueba correcta en una afirmación falsa. (Hammack, contrapositiva, capítulo 5).

Considérese la afirmación: si el cuadrado de un entero es múltiplo de tres, ese entero es múltiplo de tres. Su contrapositiva resulta más transparente. Un entero que no sea múltiplo de tres tiene, al dividirlo por tres, resto uno o dos. Puede escribirse $3k+1$ o $3k+2$, con $k$ entero. Los cuadrados respectivos son

En ambos casos el resto del cuadrado es uno, por lo que no es múltiplo de tres. Los dos casos cubren exactamente la negación de la conclusión original. No se ha supuesto lo que se quería demostrar ni se ha dejado fuera a los enteros negativos; el resto no negativo de la división por tres también los clasifica.

La demostración por contradicción supone que la afirmación buscada es falsa y deriva una incompatibilidad con lo ya admitido. Un intento defectuoso pretende demostrar que no existe un menor entero positivo divisible por dos. Supone que ese mínimo es $2k$, con $k$ positivo, y propone $k$ como un candidato menor. Pero $k$ no tiene por qué ser divisible por dos, de modo que la reducción no prueba nada sobre el conjunto considerado. De hecho, dos es su menor elemento. El intento revela un fallo: el nuevo candidato abandonó una condición decisiva.

Un argumento correcto y breve consiste en negar que haya un mayor entero positivo. Si $M$ fuera ese mayor entero, $M+1$ también sería entero positivo y sería mayor, contradiciendo la hipótesis. La fuerza procede de conservar las propiedades exigidas y producir precisamente la contradicción pertinente. Obtener un resultado extraño o inesperado no basta; debe ser incompatible con una afirmación ya establecida.

La inducción demuestra propiedades de una sucesión de enteros mediante una base y un paso que transmite la propiedad. Para todo entero $n\ge 0$, $2^n\ge n+1$. La base $n=0$ da igualdad. Si para un entero $k\ge 0$ vale $2^k\ge k+1$, entonces $2^{k+1}\ge 2k+2\ge k+2$, porque $k\ge 0$. Se obtiene así el caso siguiente. La hipótesis inductiva se usa para un paso arbitrario; no se presume la conclusión de toda la sucesión.

La base no es prescindible. El enunciado «para todo entero $n\ge 0$, $2^n\ge n+2$» tiene el mismo tipo de paso transmisor, pero falla en $n=0$. Una transmisión sin punto de partida no establece que algún caso haya entrado en la cadena. Tampoco basta una base si el paso no cubre todos los índices previstos. La inducción explica una dependencia lógica, no una observación de que los primeros términos parecen crecer deprisa.

Las pruebas de existencia pueden construir un objeto; las de unicidad muestran que dos candidatos cualesquiera deben coincidir. Las demostraciones por casos requieren que los casos sean exhaustivos. La elección de una estrategia depende de la forma del problema, y puede combinar varias. En un argumento largo resulta útil hacer visible qué se necesita en cada tramo, sin convertir cada línea algebraica en una explicación redundante.

El cálculo automático puede ayudar a explorar, encontrar contraejemplos o comprobar partes de una prueba. Una ejecución numérica tiene precisión y dominio finitos; una comprobación simbólica depende de las reglas y supuestos utilizados. Ninguna salida debe interpretarse más ampliamente de lo que permite el procedimiento. El valor de una herramienta reside en la tarea que efectivamente verifica, no en que el resultado lleve muchas cifras o parezca difícil de obtener manualmente.

130.3. Idealización, parametrización y validación#

Un modelo matemático asigna objetos formales a aspectos de un sistema. Puede tratar una superficie irregular como un plano, una colección de unidades como una población homogénea o una respuesta variable como una relación media. Una idealización omite o modifica rasgos para estudiar una relación concreta. No es necesariamente un error: su utilidad depende de que esas omisiones no invaliden el uso previsto.

Ejemplo construido. Se propone que una cantidad $q(t)$ disminuye con el tiempo según $q(t)=q_0{e}^{-kt}$, y que un dispositivo produce una señal $Y(t)=gq(t)$. La cantidad se expresa en microgramos, el tiempo $t\ge 0$ en minutos, $q_0>0$ es la cantidad inicial, $k>0$ una tasa en minuto inverso y $g>0$ una ganancia en unidades de señal por microgramo. Se supone una tasa constante, una respuesta proporcional y ausencia de señal de fondo. No se atribuye este modelo a una sustancia o instrumento observado.

El producto $kt$ no tiene unidades, condición necesaria para el exponente. La señal tiene unidades distintas de la cantidad; confundirlas haría que ajustar una amplitud pareciera medir una masa. El modelo incluye dos relaciones: evolución de la cantidad y conversión de cantidad a señal. Podría acertar la primera y fallar la segunda, por ejemplo si hubiera saturación o un desplazamiento constante no considerado.

Parametrizar es expresar una familia de representaciones mediante cantidades ajustables. En el ejemplo, elegir $q_0$, $k$ y $g$ determina una curva de señal. Ajustar esos parámetros busca concordancia con datos bajo un criterio explícito. Una curva ajustada no es una ley comprobada para cualquier tiempo ni una explicación suficiente de las causas del proceso. La selección del criterio, las unidades y el error de medición afectan al significado del ajuste.

La verificación de una implementación examina si se resolvió correctamente el modelo especificado. La validación examina en qué grado ese modelo representa el sistema para un uso concreto. La documentación técnica de NASA sobre simulación distingue ambas tareas: comprobar matemáticas y código no equivale a comprobar adecuación física. (NASA, verificación y validación; evaluación de verificación).

En el ejemplo, comparar una solución numérica con la expresión exponencial puede verificar un cálculo. Comparar la señal prevista con nuevas mediciones comprueba otro vínculo. Si el modelo sólo se evaluó durante pocos minutos, aplicarlo durante días puede introducir condiciones distintas. Una tolerancia suficiente para describir una tendencia podría ser insuficiente para decidir cuándo se cruza un límite estrecho. Validar exige declarar magnitud, condiciones, incertidumbre y precisión necesaria. (NASA, validación según uso y dominio).

La comparación empírica incluye incertidumbre en los datos de referencia. Una discrepancia pequeña no prueba igualdad exacta; una discrepancia mayor que la resolución tampoco identifica automáticamente qué supuesto falló. Es útil buscar patrones: residuos que crecen con el tiempo, cambios entre condiciones o resultados dependientes del instrumento pueden orientar la revisión. Volver a ajustar siempre los mismos datos puede ocultar que la forma del modelo no se sostiene fuera de ellos.

Una simplificación defendible conserva aquello que interesa. Si el propósito es predecir la señal para tiempos cercanos a los observados, puede ser suficiente una parametrización de amplitud y tasa. Si se pretende conocer la cantidad inicial real, hace falta estudiar qué información proporciona la ganancia. El mismo modelo puede estar bien sustentado para una predicción y ser insuficiente para una interpretación de sus parámetros.

130.4. Identificabilidad, sensibilidad y equivalencia de modelos#

La identificabilidad pregunta si observaciones permitidas pueden distinguir los parámetros o representaciones del modelo. Es estructural cuando se considera información ideal sin ruido dentro del diseño de observación especificado. El problema práctico incorpora cantidad, precisión y condiciones de los datos disponibles. La distinción evita atribuir a falta de precisión una ambigüedad que seguiría existiendo con observaciones perfectas. (Raue y colaboradores, identificabilidad estructural y práctica, secciones 2.3 y 4).

En el modelo construido,

La señal depende de $g$ y $q_0$ sólo mediante su producto. Multiplicar $q_0$ por cualquier factor positivo $c$ y dividir $g$ por $c$ deja idéntica la señal a todo tiempo. Por tanto, observar más puntos de esa misma señal, incluso con exactitud ideal, no separa ambos parámetros. Puede identificarse la amplitud $A=g{q}_0$, pero no cada factor por separado mientras permanezca desconocido el otro.

Ejemplo construido. La señal vale seis unidades en $t=0$ y tres unidades dos minutos después. Bajo el modelo sin ruido, la amplitud es seis y la razón entre señales es $e^{-k(2\min )}$. Se obtiene $k=\ln 2/(2\min )$. Los pares $(q_0,g)$ de tres microgramos y dos unidades por microgramo, seis y una, o doce y media generan exactamente las mismas observaciones y la misma curva completa.

El problema puede resolverse con información de otra clase: conocer la ganancia mediante una referencia independiente, medir la cantidad por otro método o imponer una relación físicamente justificada. Fijar arbitrariamente $g=1$ también produce un valor único de $q_0$ en el programa, pero no aporta evidencia de que ésa sea la ganancia real. Una restricción elegida para cerrar el cálculo debe distinguirse de un conocimiento adquirido sobre el sistema.

La tasa $k$, en cambio, puede distinguirse idealmente usando señales positivas a tiempos diferentes. Con datos ruidosos y un intervalo temporal muy corto, las curvas de tasas cercanas pueden resultar casi indistinguibles. Un parámetro estructuralmente identificable puede quedar mal determinado en la práctica. Elegir observaciones informativas importa más que añadir repeticiones donde la señal apenas cambia. Tampoco observar muy tarde es siempre mejor: una señal diminuta puede quedar dominada por ruido de fondo.

La sensibilidad describe cuánto cambia una salida al variar un parámetro. Manteniendo fija la amplitud, $\partial Y/\partial k=-tY$. Para un cambio pequeño $\mathrm{\Delta }k$, el cambio relativo es aproximadamente $\mathrm{\Delta }Y/Y\simeq -t\mathrm{\Delta }k$. El producto $t\mathrm{\Delta }k$ es adimensional, y la aproximación lineal exige que sea pequeño. La sensibilidad relativa crece con el tiempo en este modelo, aunque la señal absoluta disminuye; una medición con ruido absoluto no necesariamente gana información por esperar más.

Que una salida sea sensible a un parámetro no demuestra que éste sea identificable: otro parámetro puede compensar su efecto. Tampoco que una salida cambie poco autoriza a omitir siempre el parámetro; puede influir en otra magnitud o bajo otra condición. La identificabilidad estudia distinción entre alternativas, mientras la sensibilidad estudia respuesta a cambios. Ambas ayudan a diseñar mediciones y a evitar interpretaciones excesivas de un ajuste.

Dos modelos pueden ser equivalentes para las observaciones presentes y divergir en nuevas condiciones. La equivalencia debe calificarse por qué se observa y bajo qué intervenciones o entradas. Si se registran sólo totales, pueden quedar ocultas distribuciones internas distintas. Si se observan sólo estados estables, pueden quedar ocultas dinámicas distintas. Una nueva medición útil busca justamente dónde las alternativas hacen predicciones diferentes.

130.5. Incompletitud práctica: cuándo la matemática no decide por sí sola#

Una decisión puede quedar abierta por razones que requieren respuestas distintas. Puede faltar una demostración, faltar un dato, existir una ambigüedad estructural o excederse los recursos de cálculo. También puede estar claro qué ocurriría con cada acción y seguir sin decidirse qué consecuencia se prefiere. Mezclar esas situaciones bajo «incertidumbre» impide identificar qué trabajo ayudaría a resolverlas.

El ejemplo de ganancia y cantidad inicial tiene un límite demostrado: las observaciones estipuladas no separan dos factores. Ese resultado no equivale a decir que nunca puedan medirse. Señala qué debe cambiar en la información disponible. La falta de una prueba de una conjetura también es distinta de una demostración de que no puede decidirse en un sistema formal. Que una búsqueda haya fracasado sólo describe sus resultados y condiciones; no establece por sí sola imposibilidad universal.

Un cálculo exacto puede responder una pregunta mal formulada. Si un modelo de asignación minimiza coste total sin representar quién soporta una pérdida, no puede pronunciarse sobre su distribución. Si dos acciones tienen riesgos diferentes, calcular sus probabilidades no determina qué riesgo es aceptable. Las consecuencias, restricciones y preferencias necesitan definición y justificación. Una ponderación numérica hace explícita una elección; no la convierte en un hecho descubierto por álgebra.

También hay límites de alcance. Un modelo validado para un uso puede no servir para otro. La extrapolación introduce supuestos sobre continuidad de mecanismos y condiciones, que merecen comprobación particular. Una predicción acertada tampoco demuestra una explicación única: varias estructuras pueden reproducir el mismo resultado. La corroboración aumenta confianza dentro de un dominio; no reemplaza la búsqueda de alternativas y de observaciones capaces de distinguirlas.

La simplicidad puede mejorar comprensión, cálculo y posibilidad de comprobación, pero debe evaluarse por lo que conserva. Una representación más detallada puede añadir parámetros que los datos no identifican. Una demasiado simple puede ocultar una dependencia crucial. El equilibrio no se fija contando términos: se estudia qué conclusiones cambian al modificar supuestos, qué observaciones sostienen cada componente y qué precisión exige el propósito.

La comunicación de un resultado debería conservar esas conexiones. Conviene especificar el enunciado demostrado, las condiciones que lo autorizan, qué cantidades se observaron o estipularon, qué pasos se calcularon y qué interpretación adicional se propone. Esas distinciones permiten revisar una conclusión sin descartar todo el razonamiento ni concederle una autoridad que excede sus premisas.

La parte matemática termina así en una exigencia de método. Para aplicar números, ecuaciones y modelos es necesario producir observaciones comparables y entender sus límites. Los capítulos siguientes desarrollan medición, calibración y diseño de investigación: las prácticas que permiten saber qué entra en una fórmula y qué evidencia respalda su relación con el mundo.

Preguntas de transferencia#

Diez aciertos y una afirmación universal#

La expresión $n^2+n+11$ produce primos entre cero y nueve. ¿Qué cambia al comprobar que para diez produce ciento veintiuno?

Una inducción sin comienzo#

Se demuestra que, si $2^k\ge k+2$, entonces $2^{k+1}\ge k+3$ para $k\ge 0$. ¿Eso prueba la desigualdad para todo entero no negativo?

Más puntos, mismos factores ocultos#

Ejemplo construido. Se registran mil valores perfectos de la señal $Y(t)=g{q}_0{e}^{-kt}$, con ganancia y cantidad inicial desconocidas. ¿Eso separa necesariamente $g$ y $q_0$?

El cálculo funciona, la predicción falla#

Ejemplo construido. Un programa reproduce una solución analítica conocida, pero predice mal nuevas mediciones del sistema representado. ¿Es contradictorio?

Fuentes y lecturas del capítulo#

Richard Hammack. Book of Proof, tercera edición, versión 3.4 (2018). Consultados los capítulos de definiciones, pruebas directas, contrapositiva, contradicción, contraejemplos e inducción. Apoya la distinción entre formas de enunciados y exigencias de justificación; los desarrollos algebraicos del capítulo están expuestos de manera autocontenida. (Libro del autor).

NASA Glenn Research Center, NPARC Alliance. Overview of CFD Verification and Validation y Verification Assessment, tutorial técnico, páginas actualizadas en 2021. Consultadas para distinguir implementación correcta y adecuación empírica, conservando que el marco se expone originalmente para dinámica de fluidos computacional. (Distinciones; verificación).

NASA Glenn Research Center, NPARC Alliance. Validation Assessment, mismo tutorial. Consultada para precisar que la validación depende del uso y dominio, e incluye incertidumbre de las mediciones de referencia. (Documento).

A. Raue, C. Kreutz, T. Maiwald, J. Bachmann, M. Schilling, U. Klingmüller y J. Timmer. Structural and practical identifiability analysis of partially observed dynamical models by exploiting the profile likelihood. Bioinformatics 25(15), 1923–1929 (2009), DOI 10.1093/bioinformatics/btp358. Consultado el texto de las secciones sobre identificabilidad y análisis de parámetros; sustenta la separación entre ambigüedad estructural y límites de los datos. El ejemplo de señal del capítulo es construido y se resuelve algebraicamente. (Artículo).

Bibliografía de la parte XII · Bibliografía general

Última revisión editorial

29 de septiembre de 2026

Cierre de contenidos

29 de septiembre de 2026