Geometría: espacio, forma y transformación

Dos terrenos pueden necesitar la misma longitud de cerco y ofrecer superficies diferentes. Un rectángulo de diez por diez metros tiene perímetro de cuarenta metros y área de cien metros cuadrados. Otro de dieciséis por cuatro tiene el mismo perímetro y área de sesenta y cuatro. La longitud del borde no contiene toda la información sobre la región encerrada. La forma participa en la relación entre ambas medidas.

La geometría estudia qué relaciones espaciales permanecen y cuáles cambian cuando una figura se mueve, se deforma o se amplía. Un argumento geométrico puede demostrar que un recorte conserva área sin medir cada trozo, o que una ampliación uniforme cambia el volumen más deprisa que la longitud. También exige distinguir el objeto ideal del trazo que lo representa. El capítulo 119 examinó reglas de dependencia; aquí algunas de ellas se justifican a partir de relaciones espaciales, y otras revelan hasta dónde alcanzan los supuestos sobre el espacio.

120.1. Puntos, líneas, ángulos y distancias#

Un punto identifica una posición sin extensión. Una recta euclidiana es ilimitada en ambos sentidos y no tiene grosor. Un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos extremos; su longitud sí puede medirse. Un plano tiene extensión en dos dimensiones y no espesor. Estas entidades son ideales: una marca de tinta, un hilo tenso y una mesa sirven como representaciones aproximadas, pero no comparten todas sus propiedades.

En una formulación axiomática, términos fundamentales como punto y recta reciben significado por las relaciones que se establecen entre ellos, en lugar de reducirse indefinidamente a otros términos. Por dos puntos distintos del plano euclidiano pasa una única recta. Tres puntos no alineados determinan un plano en el espacio euclidiano tridimensional. El modelo permite razonar con exactitud sobre relaciones que una medición física sólo estima. (OpenStax, puntos, rectas y planos).

Una semirrecta parte de un extremo y continúa sin límite en una dirección. Dos semirrectas con origen común delimitan un ángulo, cuya medida expresa la abertura o giro entre direcciones. El origen es el vértice. Una vuelta completa mide 360 grados; un ángulo recto, 90; un ángulo llano, 180. Al alargar los lados dibujados no cambia la abertura: medir el ángulo por la distancia entre sus extremos confundirá longitud con dirección. El capítulo 121 construirá la medida angular en radianes y las relaciones trigonométricas.

Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Para entenderlo basta observar que cada uno es el suplemento del mismo ángulo vecino: ambos completan con él una abertura llana. Dos rectas son perpendiculares cuando forman ángulos rectos. En un plano, dos rectas distintas son paralelas cuando no se cortan. En el espacio tridimensional también existen rectas que no se cortan y no son paralelas, porque no están contenidas en un mismo plano; se llaman alabeadas. La condición de trabajar en el plano evita una generalización incorrecta.

Si una transversal corta dos paralelas, aparecen igualdades entre ángulos correspondientes y alternos. Esas relaciones permiten trasladar una dirección entre posiciones. No deben inferirse sólo porque dos trazos parezcan paralelos. El paralelismo es un supuesto o una propiedad demostrada del problema; el aspecto de una reproducción pequeña puede engañar. (OpenStax, ángulos y paralelas).

Una distancia mide separación bajo una regla especificada. En el plano euclidiano, la distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une, el camino más corto. Satisface la desigualdad triangular: ir de un punto A a C pasando por B no es más corto que ir directamente de A a C. La igualdad se alcanza cuando B está en el segmento entre los otros dos. A, B y C designan aquí posiciones, no magnitudes que se suman.

La distancia entre un punto y una recta es la longitud del segmento perpendicular que llega a ella. Un segmento oblicuo necesita cubrir además desplazamiento lateral y es más largo. Esta diferencia reaparece en las alturas de triángulos y prismas: la altura geométrica es perpendicular a la base o a su plano, no cualquier lado que parezca subir en el dibujo.

Para un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los cuadrados de las longitudes:

$a$ y $b$ son los catetos que forman el ángulo recto; $c$ es la hipotenusa opuesta a él. Las longitudes se expresan en una misma unidad y sus cuadrados en la unidad de área correspondiente. El teorema afirma una relación de áreas de cuadrados construidos sobre los lados, no una suma de longitudes. La proposición 47 del libro I de los Elementos establece esta relación; la 48 expresa su recíproca para un triángulo euclidiano. (Euclides, libro I, edición comentada por David Joyce).

Ejemplo construido. Dos puntos están separados por desplazamientos perpendiculares de seis y ocho metros. El segmento directo mide diez porque $6^2+8^2=100$. Recorrer primero los seis metros y después los ocho produce catorce metros de camino. El resultado distingue distancia directa y longitud de una ruta. Si las direcciones no fueran perpendiculares, aquellos dos desplazamientos no justificarían aplicar la misma fórmula.

120.2. Congruencia, semejanza y escala#

Dos figuras son congruentes si una puede hacerse coincidir con la otra mediante una transformación que conserva distancias. Pueden ocupar posiciones distintas, estar giradas o reflejadas. Tienen la misma forma y tamaño. La coincidencia exige corresponder los puntos adecuados: compartir área no basta, como muestran regiones distintas de igual superficie.

Un triángulo rígido queda determinado, salvo posición y reflexión, por las longitudes de sus tres lados cuando forman un triángulo no degenerado. Esa condición exige que cada longitud sea menor que la suma de las otras dos. Lados de dos, tres y seis unidades no cierran un triángulo. Los criterios habituales de congruencia permiten reducir la información necesaria; dos lados y el ángulo comprendido entre ellos bastan, pero dos lados y un ángulo no comprendido no garantizan en general una solución única. (OpenStax, congruencia de triángulos).

Dos figuras son semejantes cuando se relacionan mediante una ampliación o reducción uniforme y una transformación que conserva distancias. Las longitudes correspondientes guardan un mismo factor positivo $k$ y los ángulos correspondientes se conservan. El factor $k$ es una razón sin unidades si ambas longitudes se expresan de manera compatible. La congruencia es el caso particular $k=1$.

En triángulos euclidianos, la igualdad de dos pares de ángulos implica semejanza: el tercero también coincide porque la suma es 180 grados, y las formas quedan determinadas salvo escala. No puede trasladarse aquel criterio a cualquier polígono. Dos rectángulos tienen los mismos cuatro ángulos, pero uno de proporciones dos a uno y otro de proporciones tres a uno no son semejantes. Hay que conservar la estructura y todas las razones necesarias, no sólo una lista de ángulos iguales.

Ejemplo construido. Una placa rectangular de 12 por 8 centímetros se reproduce en un dibujo de 6 por 4. Las dos razones son un medio; el dibujo es semejante. Si se reproduce en 6 por 3, una razón es un medio y la otra tres octavos. La segunda reproducción distorsiona la forma. Su diagonal y algunos ángulos oblicuos cambian de manera incompatible con una escala uniforme, aunque ambos contornos sigan siendo rectángulos.

La ampliación afecta de manera distinta a longitud, área y volumen. Si todas las dimensiones lineales se multiplican por $k$, los perímetros se multiplican por $k$, las áreas por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$. En un rectángulo, $A=ab$ pasa a $(ka)(kb)=k^{2}ab$. En un prisma rectangular, $V=abc$ pasa a $k^{3}abc$. Aquí $a$, $b$ y $c$ son longitudes perpendiculares; $A$ y $V$ son área y volumen. El razonamiento muestra por qué no basta aplicar el mismo porcentaje a todas las medidas.

Ejemplo construido. Un recipiente de forma fija tiene capacidad de un litro. Una réplica con todas las dimensiones interiores duplicadas admite ocho litros, no dos. Si se duplican las dimensiones exteriores, pero el grosor de las paredes permanece fijo, los interiores dejan de ser una ampliación exacta y aquella predicción no se sigue automáticamente. Para aplicar una ley de escala hay que comprobar qué dimensiones son semejantes.

El cociente entre superficie y volumen disminuye como $1/k$ en sólidos semejantes. Una réplica diez veces mayor tiene cien veces la superficie y mil veces el volumen; la superficie disponible por unidad de volumen es diez veces menor. Esta relación geométrica importa en procesos de intercambio, pero no determina por sí sola sus velocidades: temperatura, materiales y condiciones de frontera añaden mecanismos físicos. La geometría proporciona una restricción de escala, no una explicación completa de cualquier proceso que ocurra en el objeto.

Una escala cartográfica o de plano compara longitudes. En un plano uniforme 1:100, un centímetro representa un metro, después de convertir las unidades. Un centímetro cuadrado representa un metro cuadrado, porque el factor de longitud se aplica en dos direcciones. La igualdad numérica de aquel caso no debe ocultar el cambio de unidades: el área real es diez mil veces el área del plano expresada en centímetros cuadrados. Las proyecciones territoriales pueden tener escalas variables; no siempre existe un factor único válido en todas las posiciones y direcciones.

120.3. Áreas, volúmenes y argumentos geométricos#

Medir un área empieza por comparar la región con una unidad de superficie. Un rectángulo de cinco por tres unidades contiene quince cuadrados unitarios. Esta disposición construye $A=bh$, donde $b$ y $h$ son base y altura perpendicular. Las dimensiones no necesitan ser enteras: subdividir unidades permite extender el producto a longitudes fraccionarias, y las longitudes reales se tratan mediante la continuidad de la medida.

El área conserva una propiedad fundamental al descomponer una región: si las partes no se superponen en su interior, sus áreas se suman. Mover una pieza rígidamente no cambia su área. Estas dos propiedades permiten convertir formas incómodas en otras conocidas. No basta con que el dibujo final parezca similar: deben conservarse todas las piezas, sin huecos ni solapamientos inadvertidos.

En un paralelogramo, cortar un triángulo de un extremo y trasladarlo al otro forma un rectángulo con la misma base y altura. Para una inclinación en la que aquel corte queda dentro de la base, el reordenamiento es directo; inclinaciones mayores pueden descomponerse en más piezas. El resultado es $A=bh$, con $h$ perpendicular, aunque el lado oblicuo sea mayor. El argumento conserva área, no perímetro. (OpenStax, área y descomposición).

Dos copias congruentes de un triángulo pueden formar un paralelogramo. Por ello el área triangular es $A=bh/2$, con la misma definición perpendicular de altura. En un triángulo obtuso, la altura puede caer fuera del segmento que sirve de base; la distancia al soporte recto de esa base sigue siendo la que entra en la fórmula. La orientación del dibujo no decide qué lado se puede elegir como base.

El área de un círculo de radio $r$ es $A=\pi r^2$. El radio es una longitud y $\pi$ es la razón, sin unidades, entre la longitud de una circunferencia euclidiana y su diámetro. Una manera de construir la intuición consiste en dividir el disco en sectores finos y alternarlos: la región se aproxima a un rectángulo de altura $r$ y base igual a media circunferencia, $\pi r$. Con un número finito de sectores aún hay bordes curvos; la igualdad exacta requiere justificar el paso al límite, no confundir la apariencia casi rectangular con una prueba completa.

Una medida de área tampoco identifica una forma. Seis cuadrados de un metro de lado pueden formar un rectángulo de seis por uno, otro de tres por dos o una región escalonada. En todos los casos el área es seis metros cuadrados, pero el perímetro y las distancias entre puntos pueden variar. Medir reduce información a una magnitud; conocer esa magnitud no reconstruye automáticamente el objeto.

El volumen compara un sólido con una unidad cúbica. En un prisma de sección transversal constante de área $B$ y altura perpendicular $h$, las capas tienen la misma área y la acumulación da $V=Bh$. $B$ se expresa en unidades cuadradas, $h$ en unidades de longitud y $V$ en unidades cúbicas. Un cilindro recto tiene $B=\pi r^2$, por lo que $V=\pi r^{2}h$. La superficie exterior se calcula con otro razonamiento: incluye las dos bases y la superficie lateral. (OpenStax, volumen y superficie).

Ejemplo construido. Un bloque rectangular cerrado de dos por tres por cuatro centímetros ocupa 24 centímetros cúbicos. Su superficie exterior es $2(2\times 3+2\times 4+3\times 4)=52$ centímetros cuadrados. Los dos resultados responden a preguntas distintas: espacio ocupado y área de su frontera. Si se pretende calcular capacidad de un recipiente, hay que usar dimensiones interiores y descontar lo que ocupen sus componentes. Si se pretende revestirlo, pueden importar unas superficies y otras no, según esté abierto o cerrado.

En una pirámide o un cono las secciones paralelas a la base se estrechan y ya no basta multiplicar área de base por altura. Bajo la geometría euclidiana ideal, el volumen es un tercio de aquel producto. La fórmula es exacta para esos sólidos; no procede de que cualquier punta ocupe «aproximadamente un tercio». El capítulo 123 explicará cómo acumular áreas de secciones variables mediante integración. Aquí la comparación entre sección constante y variable identifica por qué cambió la relación.

Los argumentos espaciales son rigurosos cuando explicitan qué se conserva. Una figura puede ayudar a descubrir una descomposición, pero sus tamaños aparentes no establecen igualdad. Marcas de congruencia, relaciones demostradas y medidas declaradas sostienen el razonamiento. Si se conoce un largo exacto y otro aproximado, escribir una fórmula exacta no elimina la incertidumbre del segundo. Geometría y medición se conectan sin convertirse en la misma actividad.

120.4. Simetrías y transformaciones#

Una transformación asigna a cada punto otro punto. Para estudiar una forma importa preguntar qué propiedades mantiene. Las isometrías conservan distancias entre todos los pares de puntos. En el plano euclidiano incluyen traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones deslizantes. No crean una figura mayor o más pequeña: modifican posición u orientación manteniendo la congruencia. (OpenStax, movimientos y teselaciones).

Una traslación mueve todos los puntos en la misma dirección y por la misma distancia. Una rotación plana gira alrededor de un centro fijo según un ángulo. Una reflexión respecto de una recta envía cada punto al otro lado, a igual distancia perpendicular; los puntos del eje permanecen fijos. Una reflexión deslizante combina la reflexión con una traslación paralela al eje. El orden y las referencias deben especificarse: «girar la figura» sin centro ni ángulo no define una transformación única.

Una simetría de una figura es una transformación que la deja coincidir consigo misma. Un rectángulo no cuadrado admite el giro de media vuelta y reflexiones sobre sus dos ejes centrales, además de la identidad. Un cuarto de vuelta no es simetría porque intercambia lados de longitudes diferentes. En un cuadrado sí lo es. La conservación del contorno no significa que cada punto permanezca inmóvil; una marca en un vértice permite reconocer cómo se redistribuyeron.

Ejemplo construido. Un diseño de tejido repite un motivo cada seis centímetros horizontalmente. La traslación de seis centímetros puede ser simetría del patrón ideal que se prolonga indefinidamente, pero no de una pieza finita completa cuyos bordes quedarían desplazados. Al describir simetría debe aclararse qué objeto se considera: motivo, repetición ilimitada o tejido material recortado. Una regularidad local no establece la misma propiedad global.

Las simetrías pueden componerse y formar estructuras algebraicas, como el grupo de giros descrito en el capítulo 118. La composición de dos reflexiones respecto de ejes que se cortan produce una rotación; para ejes paralelos produce una traslación. La relación conecta una propiedad espacial con una operación abstracta. No toda composición deja inmóviles los mismos puntos que cada transformación por separado.

Una ampliación uniforme conserva ángulos y razones de longitudes, pero cambia las longitudes mismas. Por eso es una semejanza y no una isometría, salvo factor uno. Una deformación que estira sólo una dirección puede conservar paralelismo y alineación, sin conservar ángulos ni razones de longitudes en direcciones diferentes. Estas propiedades permiten distinguir familias de transformaciones sin llamar a todas «cambios de tamaño».

La perspectiva añade otro contraste. Una fotografía de un mosaico plano puede hacer que líneas paralelas de la superficie converjan en su representación. Los puntos que pertenecen a una misma línea siguen alineados bajo una proyección central adecuada, pero longitudes y ángulos de la foto no reproducen los del plano original. La geometría proyectiva estudia propiedades adaptadas a esas transformaciones. Las notas de geometría de Northwestern relacionan esta perspectiva con la elección de qué transformaciones y relaciones se quieren conservar. (Notas de MATH 340).

Una transformación geométrica no implica una deformación material viable. La reflexión ideal de una figura plana se puede definir aunque no se consiga voltearla dentro de su propio plano como una pieza rígida. Un mapa matemático estudia correspondencias; las restricciones del movimiento físico requieren información adicional. La distinción permite usar simetrías sin convertirlas en instrucciones de manipulación del objeto.

120.5. Geometrías no euclidianas y alcance de los axiomas#

Los resultados geométricos son consecuencias de supuestos sobre puntos, líneas y distancias. Un axioma o postulado se acepta como base de una teoría; un teorema se demuestra dentro de ella. La geometría euclidiana plana tiene una formulación equivalente del postulado de las paralelas: por un punto exterior a una recta pasa exactamente una recta paralela a ella. Esa condición participa en la demostración de que los ángulos de un triángulo suman 180 grados.

El argumento consiste en trazar por un vértice una paralela al lado opuesto. Los ángulos de los otros dos vértices se trasladan como alternos a esa nueva recta, y junto con el ángulo del vértice completan una abertura llana. La cadena no dice que cualquier región de tres lados, dibujada en cualquier superficie, tenga que cumplir la misma suma. Utiliza las propiedades de las paralelas en aquel espacio. (Euclides, proposiciones 29–32 del libro I).

En la superficie de una esfera, los caminos localmente más cortos son arcos de círculos máximos, aquellos cuyos planos pasan por el centro. Se llaman geodésicas. Para dos puntos no antipodales, el arco menor del círculo máximo que los une proporciona el camino superficial más corto; para dos puntos antipodales hay más de una posibilidad. Una línea recta que atraviesa el interior no sirve como ruta limitada a la superficie. La distancia depende de cuál sea el espacio donde se permite viajar.

Ejemplo construido. Sobre una esfera ideal se unen el polo norte y dos puntos del ecuador separados por un cuarto de vuelta. Los lados son los arcos menores de dos meridianos y del ecuador. Cada ángulo interior mide 90 grados: en los puntos ecuatoriales los meridianos son perpendiculares al ecuador, y en el polo se separan un cuarto de vuelta. La suma es 270 grados. No refuta el teorema plano: el triángulo pertenece a otra geometría.

Los círculos máximos completos se cortan, de modo que no hay paralelas en el sentido de geodésicas completas sin intersección. En el plano hiperbólico, en cambio, por un punto exterior a una geodésica pasan múltiples geodésicas que no cortan la dada. Sus triángulos no degenerados tienen suma angular menor que 180 grados. Los triángulos esféricos ordinarios de arcos menores tienen suma mayor. Estas comparaciones, junto con el papel del postulado de las paralelas, se introducen en las notas de geometría de Northwestern. (Geometría esférica e hiperbólica).

Una representación del plano hiperbólico dentro de un disco puede dibujar sus geodésicas como arcos curvos y comprimir cada vez más las distancias cerca del borde. La curvatura aparente en el papel no define por sí sola la métrica de aquel espacio. Del mismo modo, un mapa plano no vuelve plana la superficie representada. La geometría de un objeto y la geometría de su dibujo deben distinguirse.

La esfera ofrece un modelo de superficie curva; no es simplemente el plano euclidiano al que se ha cambiado una frase y dejado intacto todo lo demás. Por ejemplo, la unicidad de una geodésica entre puntos antipodales falla. Una comparación de sistemas axiomáticos tiene que revisar el conjunto completo de condiciones. Esta precaución evita presentar las geometrías no euclidianas como excepciones arbitrarias a reglas universales.

En regiones suficientemente pequeñas respecto del radio de curvatura, una superficie suave puede aproximarse mediante un plano tangente. La aproximación sirve cuando sus discrepancias son pequeñas para el propósito y la precisión buscados; al ampliar la región puede dejar de servir. La Tierra real tampoco es una esfera exacta. Topografía y cartografía eligen modelos adecuados a escala y requisitos, como se desarrollará en el capítulo 138.

La geometría obtiene conclusiones exactas dentro de un modelo y ayuda a decidir qué aproximación espacial usar. Que un triángulo físico parezca cumplir 180 grados dentro de la incertidumbre no prueba que todo espacio sea euclidiano. Que una superficie sea curva no invalida todo cálculo plano local. La relación entre escala, supuestos y precisión determina el alcance de la representación.

Preguntas de transferencia#

La copia que aumenta demasiado poco el área#

Ejemplo construido. Un plano se amplía un 50 % en todas sus longitudes. Una región representaba 80 metros cuadrados. Alguien calcula que ahora debe representar 120 porque aumentó un 50 %. ¿Qué medidas se están confundiendo?

Un lado inclinado como altura#

Ejemplo construido. Un paralelogramo tiene base de ocho centímetros, lado oblicuo de cinco y altura perpendicular de cuatro. ¿Es correcto calcular el área como cuarenta centímetros cuadrados?

Un parecido insuficiente#

Dos rectángulos tienen ángulos iguales y áreas de 24 y 96 unidades cuadradas. ¿Basta para afirmar que el segundo es una ampliación del primero con factor dos?

Un triángulo que excede la suma familiar#

Ejemplo construido. Una ruta superficial ideal une tres puntos de una esfera mediante arcos de círculo máximo. La suma de sus ángulos medidos es mayor que 180 grados. ¿Debe atribuirse de inmediato a un error instrumental?

Fuentes y lecturas del capítulo#

OpenStax. Contemporary Mathematics, sección 10.1, «Points, Lines, and Planes». Referencia para las entidades ideales y relaciones básicas del espacio euclidiano. (Sección).

OpenStax. Contemporary Mathematics, sección 10.2, «Angles». Apoya medidas angulares y relaciones entre ángulos formados por rectas y transversales. (Sección).

OpenStax. Contemporary Mathematics, sección 10.3, «Triangles». Se utilizó para congruencia, semejanza y correspondencia de lados, conservando la distinción entre criterios triangulares y propiedades de otros polígonos. (Sección).

OpenStax. Contemporary Mathematics, sección 10.6, «Area», y sección 10.7, «Volume and Surface Area». Referencias para medidas de regiones y sólidos, con separación de superficie y volumen y comprobación de alturas y unidades. (Área; volumen y superficie).

OpenStax. Contemporary Mathematics, sección 10.5, «Tessellations». Lectura para traslaciones, rotaciones, reflexiones y patrones que cubren el plano. (Sección).

Euclides; edición y comentarios de David E. Joyce. Elements, libro I, Clark University. Se consultaron postulados y proposiciones sobre paralelas, áreas y el teorema de Pitágoras; la edición permite distinguir resultados de sus hipótesis. (Libro I).

Northwestern University. MATH 340: Geometry, notas de curso alojadas en el sitio de Santiago Cañez. Referencia para perspectivas axiomática, proyectiva y de transformaciones, y para diferencias entre geometría plana, esférica e hiperbólica. (Notas).

Bibliografía de la parte XII · Bibliografía general

Última revisión editorial

29 de septiembre de 2026

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29 de septiembre de 2026