Cálculo II: acumulación, integrales y aproximación

Conocer un caudal en un instante no basta para saber cuánto líquido pasó durante una jornada. Si permanece constante, multiplicar caudal por tiempo resuelve el problema. Si cambia, hay que sumar contribuciones de intervalos en los que la tasa se conoce o puede aproximarse. La acumulación reúne información local para obtener un cambio total.

La integral formaliza esa suma y conserva las unidades de sus contribuciones. Su interpretación puede ser área, volumen, desplazamiento o cualquier otra magnitud construida mediante una densidad o tasa. El teorema fundamental explica por qué acumular y derivar se relacionan, pero no elimina las condiciones que hacen válida la relación. Las ecuaciones diferenciales amplían la pregunta: describen cómo cambia una cantidad según su estado, antes de conocer toda su trayectoria.

123.1. Sumas, áreas y acumulación#

Ejemplo construido. Un suministro ideal tiene caudal $q(t)=q_0+kt$ durante cuatro minutos, donde $t$ es tiempo desde el inicio, $q_0=3\mathrm{L}/\min$ y $k=2{\mathrm{L}/\min }^2$. El caudal pasa de tres a once litros por minuto. Se pretende conocer el volumen total suministrado, sin salidas simultáneas ni pérdidas. Multiplicar cualquiera de esas dos tasas por cuatro minutos sólo describe un suministro que se mantuviera todo el tiempo en aquel extremo.

Dividir el tiempo en cuatro intervalos de un minuto permite aproximar cada aporte mediante una tasa representativa. Con el valor del inicio de cada intervalo, las tasas son tres, cinco, siete y nueve litros por minuto y el total estimado es 24 litros. Con los valores finales, cinco, siete, nueve y once, da 32 litros. Como el caudal aumenta durante todo el intervalo, la primera estimación queda por debajo del aporte real y la segunda por encima.

Si se divide en ocho intervalos de medio minuto, las estimaciones pasan a 26 y 30 litros. Disminuye la separación porque las tasas cambian menos dentro de cada intervalo. Los puntos medios dan 28 litros en cualquiera de esas particiones, debido a que la tasa es una función afín del tiempo. Esa coincidencia exacta no es una propiedad de cualquier caudal variable.

Para una función real $f$ en un intervalo $[a,b]$, con $a<b$, se divide el intervalo mediante puntos $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Hay $n$ subintervalos; el ancho del subintervalo $i$ es $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ y se elige un punto $x_i^{\ast }$ dentro de él. La suma aproximada es

$\mathrm{\Sigma }$ indica sumar los términos desde $i=1$ hasta $n$. Cada término multiplica una densidad o tasa representativa por el tamaño del intervalo correspondiente. Si $f$ mide caudal y $x$ tiempo, cada producto tiene unidades de volumen. Si ambas coordenadas son longitudes y $f\ge 0$, cada producto representa el área de un rectángulo. La semejanza gráfica permite visualizar acumulaciones cuyas unidades físicas son diferentes. (OpenStax, sumas y aproximación de áreas).

Las sumas se llaman sumas de Riemann. Los intervalos no necesitan tener igual ancho, y no basta aumentar su número si algunos siguen siendo grandes. La aproximación se controla haciendo que el mayor ancho tienda a cero. La elección de valores izquierdos, derechos o intermedios cambia una suma finita; cuando existe la integral, las sumas adecuadas convergen al mismo resultado al refinar toda la partición.

La acumulación también puede tener signos. Una tasa neta positiva añade a una reserva y una negativa resta. Para una velocidad dirigida, un intervalo de velocidad negativa contribuye negativamente al desplazamiento. La suma conserva el balance, aunque no conserve por sí sola cuánto se movió en cada sentido. El signo pertenece a la magnitud acumulada y a la orientación de referencia, no a una supuesta área geométrica negativa.

123.2. Integral definida e indefinida#

La integral definida expresa el límite de aquellas sumas sobre un intervalo:

$a$ y $b$ son los extremos, $f(x)$ el integrando y $dx$ identifica la variable cuyos intervalos se acumulan. En esta construcción, no se multiplica por un número infinitamente pequeño ya fijado: la notación resume el límite de productos con anchos que se refinan. Si $f$ es continua en el intervalo cerrado, la integral de Riemann existe. También existen integrales de funciones menos regulares, como funciones acotadas con un número finito de saltos. (OpenStax, integral definida).

Para $a<b$ y una función no negativa, la integral coincide con el área bajo su gráfica. Si cambia de signo, da área con signo: las regiones bajo el eje se restan. El área geométrica total entre la gráfica y el eje se obtiene integrando $|f(x)|$. Para una velocidad $v(t)$, integrar $v$ da desplazamiento y integrar $|v|$ da distancia recorrida, si el modelo permite esas acumulaciones.

Ejemplo construido. Un movimiento ideal mantiene dos metros por segundo en el sentido positivo durante tres segundos y un metro por segundo en el sentido negativo durante cuatro. El desplazamiento es $2\times 3-1\times 4=2$ metros. La distancia recorrida es $6+4=10$ metros. Una integral neta pequeña no prueba que hubo poca actividad: puede reflejar cancelación de contribuciones grandes de sentidos opuestos.

La integral es aditiva por intervalos: acumular de $a$ a $c$ y de $c$ a $b$ equivale a acumular de $a$ a $b$, cuando las integrales correspondientes existen. También conserva sumas y factores constantes. Estas propiedades permiten separar aportes, convertir unidades y recomponer balances. Invertir los extremos cambia el signo: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. El signo aquí procede de invertir la orientación del intervalo, no de cambiar el proceso físico.

Una primitiva o antiderivada de $f$ en un intervalo es una función $F$ cuya derivada cumple $F^{\prime }(x)=f(x)$ allí. Como derivar una constante da cero, sumar una constante a una primitiva produce otra. La integral indefinida representa esta familia:

$C$ es una constante arbitraria en aquel intervalo. Si las funciones representan magnitudes, tiene las unidades de $F$. La integral indefinida no es un número acumulado entre extremos y no debe interpretarse como una integral definida a la que simplemente se olvidó colocar límites. (OpenStax, antiderivadas).

Para números sin unidades, una primitiva de $f(x)=2x$ es $F(x)=x^2$. También lo son $x^2+7$ y $x^2-100$. Todas tienen el mismo cambio local, pero distintos valores de referencia. La constante no es una corrección opcional: registra la información que la derivada eliminó. Un dato como $F(0)=7$ selecciona un miembro de la familia.

Encontrar una primitiva elemental no es requisito para que exista una integral definida. Algunas funciones continuas tienen integrales que pueden evaluarse numéricamente o definirse como nuevas funciones, aunque no haya una expresión mediante un repertorio de operaciones habituales. La existencia de la acumulación, su representación simbólica y su cálculo práctico son preguntas diferentes.

También hay situaciones que necesitan límites adicionales, por ejemplo intervalos ilimitados o integrandos no acotados cerca de un extremo. No están cubiertas directamente por una suma ordinaria de una función acotada en un intervalo cerrado. Antes de operar con una acumulación de ese tipo debe comprobarse que converge; un símbolo de integral no garantiza una cantidad finita.

123.3. Teorema fundamental del cálculo#

Acumular una tasa construye una función que cambia a aquella tasa. Para una función continua $f$ en $[a,b]$ se define

$a$ es un extremo fijo y $x$ el extremo variable dentro del intervalo; $t$ es la variable interna de integración y no una segunda entrada independiente de $A$. Si se aumenta $x$ en un pequeño incremento $h$, la diferencia $A(x+h)-A(x)$ es sólo la contribución del tramo añadido. Los aportes anteriores se cancelan.

Dividir aquella diferencia entre $h$ da una tasa media del aporte en el tramo. Por continuidad, conforme el tramo se reduce, los valores de $f$ se acercan a $f(x)$. De ahí resulta $A^{\prime }(x)=f(x)$ en el interior. Ésta es una parte del teorema fundamental del cálculo. Une la definición mediante sumas con la tasa local construida en el capítulo 122. (OpenStax, teorema fundamental).

La otra parte proporciona un modo de calcular acumulaciones: si $F$ es una primitiva de la función continua $f$ sobre el intervalo,

La diferencia no depende de qué constante se añadió a $F$, porque se cancela entre ambos extremos. La fórmula no dice que toda función disponga de una primitiva fácil de escribir ni autoriza a atravesar una singularidad como si la continuidad estuviera garantizada. Las condiciones enlazan el resultado con la acumulación definida.

En el suministro inicial, una primitiva del caudal es $q_{0}t+k{t}^2/2$. Para cero a cuatro minutos, la contribución es

La tasa media durante esos cuatro minutos es siete litros por minuto. Coincide con el promedio de las tasas extremas porque la variación era afín; la integral explica qué promedio se calculó y por qué aparece.

Para una cantidad $Q(t)$ con derivada continua en el intervalo, el balance es

$Q(a)$ es el estado inicial, $Q(b)$ el final y $Q^{\prime }(t)$ la tasa de cambio neto. Los extremos $a$ y $b$ son tiempos; las unidades de la derivada multiplicadas por tiempo recuperan las de $Q$. Integrar sin conocer el estado inicial determina el cambio, no la cantidad final absoluta. Una reserva que comenzó con diez litros y otra que comenzó con cien pueden experimentar el mismo aporte de 28 y terminar en estados distintos.

La relación sirve para separar flujos: si una reserva cambia por entrada $i(t)$ y salida $o(t)$, ambas expresadas como tasas no negativas en unidades compatibles, entonces $Q^{\prime }(t)=i(t)-o(t)$ dentro del modelo. Integrar la diferencia da variación neta; integrar cada flujo por separado da entradas y salidas acumuladas. Si sólo se conoce la derivada neta, no se pueden reconstruir ambos flujos sin información adicional.

La integral permite definir el valor medio de una función en un intervalo como la acumulación dividida entre su ancho: $\overline{f}=(b-a{)}^{-1}{\int }_a^{b}f(x)dx$. $\overline{f}$ tiene las mismas unidades que $f$. Ese promedio pesa cada valor según la extensión de entrada durante la que contribuye. Promediar directamente unas observaciones tomadas a intervalos irregulares puede sobreponderar los tramos con más muestras. No equivale al promedio sobre tiempo a menos que se justifique aquella ponderación. Para una función continua, el valor medio se alcanza en algún punto del intervalo, pero el teorema no identifica un punto único.

La acumulación no necesita ser temporal. Para un sólido se pueden sumar áreas de secciones multiplicadas por pequeños espesores. Ejemplo construido. Un cono recto ideal tiene altura $H>0$ y base de radio $R>0$. A una altura $z$ desde la base, la semejanza de triángulos da radio $R(1-z/H)$, para $0\le z\le H$. El área de sección es $B(z)=\pi R^2(1-z/H{)}^2$ y el volumen es

$z$, $H$ y $R$ tienen unidades de longitud, $B$ de área y $V$ de volumen. El factor un tercio se obtiene integrando la variación cuadrática del área de sección; no se presupone a partir de la silueta. Un cilindro de igual base y altura tiene sección constante y volumen $\pi R^{2}H$, tres veces mayor. La geometría del capítulo 120 identificaba la disminución de las secciones; la integral permite acumularla. La fórmula depende de la forma cónica ideal, no describe cualquier recipiente que se estreche.

El teorema funciona como una conexión entre descripciones, no como garantía de medición perfecta. Una tasa ajustada a registros puede omitirse cambios entre observaciones; integrar aquella función proporciona el balance exacto de la función ajustada. Evaluar su correspondencia con el proceso exige revisar datos y supuestos. La precisión del cálculo y la validez del modelo permanecen separadas.

123.4. Métodos de integración y aproximación numérica#

Buscar una primitiva puede aprovechar las mismas relaciones que justificaban derivar. La sustitución invierte la regla de la cadena: se reconoce una cantidad intermedia y el factor que expresa cómo cambia. Para números reales sin unidades, en $\int 2x(x^2+1{)}^{3}dx$ se elige $u=x^2+1$. El factor $2x$ corresponde a $du/dx$, y la integral se reorganiza como $\int u^{3}du$. El resultado es $(x^2+1{)}^4/4+C$, que se comprueba derivando. (OpenStax, sustitución).

La escritura $du=2xdx$ condensa el cambio de variable bajo las condiciones del procedimiento; no permite sustituir cualquier factor por otro que parezca conveniente. En una integral definida también se transforman los límites. Entre $x=0$ y $x=1$, los límites de $u$ pasan de uno a dos y el valor es $(2^4-1^4)/4=15/4$. Conservar los extremos originales después de cambiar variable resolvería otro intervalo.

La integración por partes invierte la regla del producto. Para funciones suficientemente regulares $u(x)$ y $v(x)$,

Los corchetes indican valor del producto en $b$ menos valor en $a$. Se obtiene integrando $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ y trasladando uno de los aportes. La técnica cambia una integral por otra que puede ser más sencilla; una mala elección puede complicarla. (OpenStax, integración por partes).

Cuando sólo hay datos o la primitiva no resulta manejable, se utilizan cuadraturas numéricas. La regla del trapecio aproxima la función mediante segmentos entre puntos consecutivos y suma el área de los trapecios. Para valores conocidos $f(x_{i-1})$ y $f(x_i)$, la contribución es $[f(x_{i-1})+f(x_i)]\mathrm{\Delta }{x}_i/2$. Mantiene el tamaño real del intervalo: promediar las alturas y olvidarse de multiplicar por el ancho pierde las unidades de acumulación.

En una tasa afín como la del suministro, el trapecio da exactamente el área del modelo. En una función curva, puede sobreestimar o subestimar según su forma. La regla del punto medio utiliza el valor central de cada tramo; la de Simpson combina valores para aproximar mediante parábolas, con requisitos sobre la distribución de puntos y la suavidad cuando se quieren cotas de error. Mayor complejidad no ofrece mayor confianza si faltan observaciones del comportamiento entre muestras. (OpenStax, integración numérica).

Ejemplo construido. Se integra $f(x)=x^2$ entre cero y dos, con números sin unidades. El valor exacto es $8/3$. Dos trapecios de ancho uno dan tres. Cuatro de ancho medio dan 2,75. La aproximación mejora al refinar; la curvatura positiva explica que los segmentos queden por encima de la gráfica. Con dos subintervalos iguales, Simpson da $[f(0)+4f(1)+f(2)]/3=8/3$, exacto para esta parábola. Ninguno de estos resultados demuestra que Simpson sea exacto para toda curva.

Comparar particiones más finas ayuda a estudiar estabilidad numérica, pero coincidencias sucesivas no certifican siempre que se haya resuelto la variación. Un pico estrecho puede quedar entre todos los puntos evaluados. Es útil refinar donde la función cambia más, comprobar cotas o propiedades conocidas y confrontar el resultado con órdenes de magnitud. Si la tasa nunca supera diez unidades por minuto durante cinco minutos y es no negativa, una acumulación mayor que cincuenta unidades contradice aquellas condiciones.

Además del error de cuadratura está el error de los datos. Refinar una fórmula puede reducir el primero sin reducir el segundo. Una tasa medida con sesgo sistemático acumula ese sesgo; una tabla ruidosa puede exigir tratar correlaciones y resolución antes de asignar incertidumbre al total. La suma exacta de números registrados no convierte cada número en conocimiento exacto del proceso.

123.5. Ecuaciones diferenciales como reglas de cambio#

A veces se conoce cómo depende una tasa del estado actual, pero no la trayectoria completa. Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas. Para un estado $y(t)$ puede escribirse $y^{\prime }(t)=F(t,y(t))$. $F$ es una regla que calcula tasa a partir del tiempo y del estado; tiene unidades de estado por tiempo. Resolver significa encontrar funciones que satisfagan la relación, no un único número. (OpenStax, ecuaciones diferenciales).

Ejemplo construido. Una cantidad idealizada disminuye a una tasa proporcional a lo que queda: $Q^{\prime }(t)=-kQ(t)$, con $k>0$ constante en unidades de tiempo inverso. Si el valor inicial es $Q(0)=Q_0$, la solución es $Q(t)=Q_0{e}^{-kt}$. $e$ es la base del logaritmo natural y $kt$ es adimensional. Derivar la expresión devuelve $-kQ(t)$ y evaluarla en cero devuelve $Q_0$. Ambas comprobaciones son necesarias para que satisfaga el problema planteado.

El modelo produce fracciones constantes por intervalos iguales, aunque la pérdida absoluta disminuye. No describe automáticamente una reserva que pierde un caudal fijo, cuya ecuación sería $Q^{\prime }=-c$ con $c$ en unidades de cantidad por tiempo. Una misma palabra, «pérdida», puede corresponder a reglas de cambio diferentes. Comprobar cuál se espera del mecanismo es parte de formular la ecuación.

Una condición inicial selecciona el estado de referencia. La ecuación $y^{\prime }=2t$, con números sin unidades, admite las soluciones $y=t^2+C$. Fijar $y(0)=5$ da $C=5$. Las condiciones iniciales no son parámetros de decoración: aportan información que la regla de cambio no contiene. También puede haber condiciones de frontera, que describen valores en distintos lugares o extremos, y plantean problemas diferentes.

No toda ecuación con un dato inicial tiene una solución única. Como ejemplo puramente matemático para $t\ge 0$, la relación $y^{\prime }=\sqrt{y}$, con $y(0)=0$ y valores no negativos sin unidades, admite $y(t)=0$ y $y(t)=t^2/4$. La derivada de la segunda es $t/2$, igual a su raíz cuadrada en ese dominio. Las reglas de existencia y unicidad requieren condiciones adicionales de regularidad; no basta contar un dato por incógnita para asegurarlas.

Cuando no hay una solución simbólica sencilla, puede avanzarse con una aproximación local. El método de Euler parte de un estado aproximado $y_n$ en el tiempo $t_n$ y utiliza

$n$ cuenta pasos y $h>0$ es su duración. El término $hF$ tiene unidades de estado. Se usa la pendiente actual como si permaneciera constante durante el paso, la misma linealización estudiada en el capítulo anterior. Los errores de pasos sucesivos pueden acumularse y cambiar las pendientes siguientes porque éstas se calculan con estados ya aproximados. (OpenStax, campos de direcciones y métodos numéricos).

En el modelo $Q^{\prime }=-kQ$, Euler da $Q_{n+1}=(1-kh)Q_n$. Si $kh>1$, puede producir cantidades negativas desde un estado positivo, aunque la solución exponencial permanezca positiva. El defecto pertenece a la elección de paso y método, no a una predicción de cantidad material negativa del modelo exacto. Un método numérico debe respetar estabilidad y precisión para la escala temporal considerada.

La integración reconstruye balances cuando se conoce una tasa, y las ecuaciones diferenciales permiten evolucionar cuando la tasa depende del estado que se está reconstruyendo. En ambos casos hay que conservar condiciones iniciales, unidades y dominio físico. La concordancia matemática de una trayectoria con su ecuación prueba que resuelve ese modelo; explicar el proceso real exige además contrastar la regla y los parámetros con evidencia.

Preguntas de transferencia#

Un balance cero con mucho tránsito#

Ejemplo construido. Durante un intervalo entraron 200 litros en una reserva y salieron 200. Alguien concluye que la integral de caudal demuestra que no hubo circulación. ¿Qué integral responde a cada pregunta?

Una constante que falta#

Se conoce $R^{\prime }(t)=6t$ en un intervalo que contiene cero, con números sin unidades, y se concluye $R(2)=12$. ¿Qué información falta?

Dos extremos no garantizan una tasa intermedia#

Ejemplo construido. Se registra caudal cero al inicio y al final de diez minutos. La regla del trapecio da volumen cero. ¿Permiten las mediciones afirmar que no pasó líquido?

Un paso que cambia el signo del estado#

Ejemplo construido. Se usa Euler para $Q^{\prime }=-kQ$, con $k=0,5{\min }^{-1}$, estado inicial positivo y pasos de tres minutos. El primer estado calculado es negativo. ¿Qué debe revisarse?

Fuentes y lecturas del capítulo#

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 5.1, «Approximating Areas», y sección 5.2, «The Definite Integral». Referencias para sumas de Riemann, contribuciones con unidades e integral con signo. (Sumas; integral definida).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 4.10, «Antiderivatives». Apoya la familia de primitivas y el papel de las constantes de referencia. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 5.3, «The Fundamental Theorem of Calculus». Referencia para derivar una función de acumulación y calcular una integral mediante valores de una primitiva. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 5.5, «Substitution», y Calculus Volume 2, sección 3.1, «Integration by Parts». Se consultaron para relacionar técnicas de integración con reglas de derivación y conservar los límites al cambiar variable. (Sustitución; por partes).

OpenStax. Calculus Volume 2, sección 3.6, «Numerical Integration». Lectura para trapecios, puntos medios y Simpson, con sus condiciones y limitaciones de aproximación. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 2, sección 4.1, «Basics of Differential Equations», y sección 4.2, «Direction Fields and Numerical Methods». Referencias para soluciones como funciones, datos iniciales y avance numérico mediante pendientes locales. (Ecuaciones; métodos).

Bibliografía de la parte XII · Bibliografía general

Última revisión editorial

29 de septiembre de 2026

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29 de septiembre de 2026