Funciones: cómo depende una cantidad de otra

Una misma altura del agua puede corresponder a volúmenes distintos en recipientes de formas diferentes. En un recipiente fijo, en cambio, cada altura permitida determina un volumen, aunque la relación no sea proporcional. El volumen depende de la altura y de la geometría que se mantiene fija. Olvidar esta última condición convierte una dependencia bien definida en una afirmación ambigua.

Las funciones expresan dependencias mediante una regla que asigna una salida única a cada entrada. Pueden describir un procedimiento exacto, una transformación abstracta o un modelo aproximado de observaciones. Una fórmula es una manera de representarlas, pero también sirven tablas, algoritmos y gráficas. El capítulo 118 trató las ecuaciones como condiciones que seleccionan soluciones; aquí interesa la relación completa entre valores permitidos, la forma de su variación y lo que puede recuperarse al recorrerla en sentido inverso.

119.1. Dominio, codominio, imagen y gráfica#

Ejemplo construido. Un depósito tiene paredes verticales, base rectangular de dos metros cuadrados y altura interior de un metro. Sin elementos que resten espacio, una altura de agua de medio metro corresponde a un metro cúbico. Una altura de tres cuartos corresponde a un metro cúbico y medio. Si se conserva la misma geometría, no hay dos volúmenes diferentes para una misma altura.

La relación se escribe $V(h)=Ah$, donde $h$ es la altura del agua, $A=2{\mathrm{m}}^2$ es el área constante de la base y $V(h)$ es el volumen en metros cúbicos. La expresión $V(h)$ se lee «volumen correspondiente a la altura $h$»; el paréntesis no indica multiplicar una letra $V$ por $h$. El dominio físico consiste en las alturas desde cero hasta un metro, incluidos los extremos. La fórmula permite calcular con alturas mayores, pero aquellas entradas ya no representan agua contenida en ese depósito.

Una función asigna exactamente una salida a cada elemento de su dominio. La unicidad se exige en esa dirección: una entrada no puede tener dos salidas distintas bajo la misma regla. Dos entradas sí pueden compartir salida. La función que asigna a cada entero su cuadrado envía dos y menos dos al mismo cuatro. Sigue siendo una función, aunque no permita reconstruir el signo a partir del resultado. (OpenStax, funciones y notación).

El codominio es el conjunto declarado al que pertenecen las salidas. La imagen es el conjunto de salidas que efectivamente se alcanzan desde el dominio. Para la función cuadrado con dominio real y codominio real, la imagen son los reales no negativos. Los negativos pertenecen al codominio elegido, pero no son cuadrados de entradas reales. La distinción evita confundir una posibilidad de representación con un valor realmente producido. (Richard Hammack, Book of Proof, capítulo 12).

La notación $f:D\to C$ declara una función llamada $f$, su dominio $D$ y su codominio $C$. Si se escribe $f(x)=x^2$ con $D=\mathbb{R}$ y $C=\mathbb{R}$, el símbolo $\mathbb{R}$ denota los números reales y la imagen es $[0,\mathrm{\infty })$. Esta última notación incluye cero y todos los reales positivos; el infinito no es una salida alcanzada ni un extremo real incluido. Si se restringe el dominio a $[0,2]$, la imagen pasa a ser $[0,4]$, aun cuando la fórmula no cambie.

La regla y su dominio deben leerse juntos. Una tabla finita puede definir una función si enumera todas las entradas del dominio y les asigna sus salidas. Cuando la tabla sólo registra algunas observaciones de una dependencia continua, no define qué ocurre entre ellas. Unir puntos mediante segmentos ya añade una regla de interpolación. El trazo no es información contenida automáticamente en los datos.

La gráfica de una función real de una variable reúne los pares $(x,f(x))$: cada punto registra una entrada y su salida. Por convenio, la entrada suele representarse horizontalmente y la salida verticalmente. Una línea vertical no debe encontrar dos puntos diferentes de la gráfica, porque eso asignaría dos salidas a la misma entrada. La comprobación sólo vale para el conjunto representado completo, no para una ventana que podría ocultar ramas o puntos.

Una gráfica tampoco necesita ser una curva continua. Si el dominio son cantidades enteras de objetos, se representan puntos separados. Si la regla cambia por intervalos, puede haber saltos. Si falta una entrada, un hueco pertenece a la definición aunque una pantalla con poca resolución no lo deje ver. Las restricciones de denominadores y raíces examinadas en el capítulo anterior reaparecen ahora como restricciones del dominio. (OpenStax, dominio e imagen).

119.2. Funciones lineales, polinómicas y racionales#

La forma más sencilla de dependencia numérica mantiene un cambio absoluto constante por unidad de entrada. Si al aumentar una longitud un metro el volumen aumenta siempre dos metros cúbicos, la tasa es constante. Para una relación entre números se escribe

donde $x$ es la entrada real, $f(x)$ la salida, $m$ la pendiente y $b$ el valor de salida para $x=0$. Si las variables representan magnitudes, $m$ tiene unidades de salida por unidad de entrada y $b$ tiene las unidades de salida. Un incremento $\mathrm{\Delta }x$ produce $\mathrm{\Delta }f=m\mathrm{\Delta }x$. El símbolo $\mathrm{\Delta }$ significa diferencia entre dos valores, sin exigir todavía una variación infinitamente pequeña.

La gráfica de esta relación es una recta. En muchos cursos elementales se la llama función lineal; en álgebra lineal se reserva ese nombre para relaciones que conservan suma y multiplicación por escalares, lo que en una variable exige $b=0$. Cuando $b\ne 0$, el nombre preciso es función afín. El uso de ambos nombres debe reconocerse para que una diferencia de vocabulario no parezca una contradicción matemática.

Ejemplo construido. Un procedimiento de empaque emplea 12 minutos de preparación y tres minutos adicionales por pieza, hasta un máximo de 20 piezas por tanda. El tiempo es $T(n)=(3\min )n+12\min$ para conteos enteros $n$ entre uno y veinte. Dos piezas requieren 18 minutos y diez requieren 42. Duplicar el número de piezas no duplica el tiempo total, porque la preparación no se duplica. La pendiente constante expresa un coste adicional constante, no proporcionalidad del total.

Las funciones polinómicas reúnen términos con potencias enteras no negativas de la entrada. Una dependencia cuadrática puede surgir al variar simultáneamente dos dimensiones. En un cuadrado de lado $s$, el área $A(s)=s^2$ se cuadruplica cuando el lado se duplica. El lado se mide en metros y el área en metros cuadrados. El dominio geométrico es $s\ge 0$; la expresión también define una función matemática sobre reales negativos, pero esos valores no son longitudes de lados.

En una cuadrática general $q(x)=a{x}^2+bx+c$ con $a\ne 0$ y coeficientes reales, la gráfica es una parábola. Completar el cuadrado, como en el capítulo 118, permite escribirla $q(x)=a(x-h{)}^2+k$. Aquí $h=-b/(2a)$ y $k=q(h)$ señalan las coordenadas del vértice. Si $a>0$, el vértice es un mínimo; si $a<0$, un máximo, cuando el dominio es todo el conjunto real. Restringir el dominio puede excluir el vértice y cambiar dónde se alcanza un extremo permitido.

Los polinomios son cómodos porque se evalúan mediante sumas y productos. Pero la facilidad de cálculo no proporciona un mecanismo físico ni garantiza una extrapolación razonable. Una curva polinómica puede ajustarse a unas mediciones y producir valores negativos o enormes fuera de aquel intervalo. Sus coeficientes no deben interpretarse automáticamente como partes reales del proceso.

Una función racional se expresa como cociente de dos polinomios y excluye los ceros del denominador. La relación $r(x)=1/x$, con $x$ real distinto de cero y sin unidad física en este ejemplo, invierte una magnitud numérica. Al pasar de uno a dos, la salida pasa de uno a un medio; al pasar de dos a cuatro, de un medio a un cuarto. El producto de entrada y salida permanece igual a uno. Un cambio aditivo fijo en la entrada no produce un cambio aditivo fijo en la salida.

Ejemplo construido. Una reserva de 120 litros se reparte por igual entre $n$ recipientes, donde $n$ es un entero positivo. La asignación por recipiente es $v(n)=120\mathrm{L}/n$. La expresión matemática no permite $n=0$, y el reparto no permite cantidades fraccionarias de recipientes. Una gráfica de la extensión a entradas reales positivas sería una curva; la asignación efectiva consiste en puntos de esa curva. Ambas representaciones son útiles si se declara cuál se utiliza.

En la función $1/x$, aproximarse a cero desde entradas positivas hace crecer la salida sin límite. La recta $x=0$ es una asíntota vertical. Al aumentar mucho las entradas positivas, la salida se aproxima a cero; la recta $y=0$ es una asíntota horizontal. Una asíntota describe un comportamiento de aproximación, no una pared material. Las asíntotas horizontales de otras funciones pueden cruzarse en valores finitos. (OpenStax, funciones racionales).

Tampoco todo cero del denominador causa una asíntota vertical. La función $(x^2-9)/(x-3)$ coincide con $x+3$ para $x\ne 3$. Falta el punto $(3,6)$, pero los valores cercanos no crecen sin límite. Cancelar el factor permite ver el hueco; no autoriza a rellenarlo sin modificar el dominio. El capítulo 122 formalizará la diferencia entre un límite finito y una discontinuidad con valores no acotados.

119.3. Exponenciales, logaritmos y escalas#

Hay dependencias en las que cada paso añade la misma cantidad y otras en las que multiplica por el mismo factor. Si una reserva pierde una quinta parte de su contenido en cada intervalo, pierde cantidades absolutas menores conforme queda menos. El patrón mantiene una proporción, no una diferencia. Para intervalos enteros iguales puede escribirse

donde $Q_0>0$ es la cantidad inicial, $n$ cuenta intervalos y $a>0$ es el factor multiplicativo por intervalo, sin unidades. Si $a>1$, hay crecimiento; si $0<a<1$, decrecimiento; si $a=1$, la cantidad permanece constante. $Q(n)$ y $Q_0$ tienen las mismas unidades. El mecanismo supuesto es que el mismo factor se aplica en cada paso, cualquiera que sea el contenido actual dentro del rango del modelo. (OpenStax, funciones exponenciales).

Ejemplo construido. Una transformación ideal conserva el 80 % de un material en cada etapa. De 100 kilogramos quedan 80 tras una etapa, 64 tras dos y 51,2 tras tres. Las pérdidas son 20, 16 y 12,8 kilogramos. Sustituir este patrón por una pérdida constante de 20 kilogramos por etapa daría 40 tras tres, una dependencia distinta. El ejemplo es un balance hipotético, no evidencia de que un proceso real mantenga aquella fracción.

La función exponencial real $f(x)=a^x$, con $a>0$ y $a\ne 1$, extiende la relación a entradas reales sin unidades. Una dependencia temporal continua suele escribirse $Q(t)=Q_0{e}^{kt}$. $t$ representa tiempo; $k$ tiene unidades de tiempo inverso, de modo que $kt$ es un número sin dimensiones; $e$ es la base de los logaritmos naturales. $k$ positivo produce crecimiento y $k$ negativo, decrecimiento. La extensión continua es otra decisión de modelización cuando las transformaciones sólo ocurren en etapas discretas.

«Exponencial» no significa simplemente rápido. Una exponencial creciente con parámetro pequeño puede variar lentamente en el intervalo observado. Una potencia como $x^4$ puede crecer deprisa sin ser exponencial. La distinción está en qué se mantiene: una exponencial multiplicada por un factor fijo al añadir el mismo incremento a la entrada, frente a una potencia con exponente fijo y base variable. La forma del mecanismo permite reconocer el patrón mejor que un adjetivo sobre su velocidad.

El logaritmo recorre en sentido inverso una exponencial. Para $u>0$ y base $a>0$, $a\ne 1$, la igualdad ${\log }_{a}u=z$ significa $a^z=u$. Los símbolos $u$ y $z$ son números reales sin unidades; $u$ es el argumento positivo y $z$ el exponente buscado. En base dos, ${\log }_{2}8=3$ porque tres duplicaciones de la unidad producen ocho. Si el argumento representa una magnitud, se toma el logaritmo de su razón respecto de una referencia compatible, no de una unidad física aislada. (OpenStax, funciones logarítmicas).

La razón $Q/Q_0$ permite preguntar cuántas etapas equivalen a una reducción. En el ejemplo de conservación del 80 %, resolver $0,8^n=0,5$ da $n=\ln (0,5)/\ln (0,8)$, aproximadamente 3,106. $\ln$ denota el logaritmo natural. Si las etapas son indivisibles, tras tres todavía queda 51,2 % y tras cuatro queda 40,96 %: la primera etapa completa con no más de la mitad es la cuarta. El valor real ayuda a comprender la dependencia; el dominio discreto decide la respuesta operativa.

Una escala logarítmica convierte factores iguales en distancias iguales. En una escala de base diez, uno, diez, cien y mil se separan por intervalos iguales, aunque sus diferencias absolutas sean nueve, noventa y novecientos. Resulta útil cuando los valores positivos abarcan muchos órdenes de magnitud. El espacio del dibujo mide diferencias entre logaritmos y, por tanto, razones entre valores originales.

En ejes semilogarítmicos, con entrada lineal y salida logarítmica, una exponencial pura aparece como una recta: $\ln (Q/Q_0)=kt$. En ejes logarítmicos para ambas variables, una potencia positiva $y=c{x}^p$ aparece como recta, pues $\ln y=\ln c+p\ln x$, si $x$, $y$ y $c$ son números positivos sin unidades y $p$ es un exponente real fijo. Son transformaciones distintas. La rectitud visual depende de los ejes y no identifica por sí sola un mecanismo.

No se pueden representar cero o valores negativos con el logaritmo real ordinario. Omitirlos sin decirlo puede ocultar parte decisiva de los datos. Cambiar a otra transformación requiere explicar su definición y lo que codifican las distancias. Una escala logra legibilidad mediante una decisión matemática; el lector necesita esa decisión para interpretar el dibujo.

119.4. Composición, inversión y transformaciones#

Dos dependencias pueden encadenarse cuando la salida de la primera sirve como entrada de la segunda. Si la altura determina volumen y el volumen determina masa para un líquido de densidad constante, la masa depende de la altura a través de ambas relaciones. La composición $g\circ f$ aplica primero $f$ y después $g$:

$x$ pertenece al dominio de $f$ y $f(x)$ debe pertenecer al dominio de $g$. No basta que ambas funciones existan por separado. Esta compatibilidad es parte de la definición de la composición. (OpenStax, composición y dominio).

Ejemplo construido. En el depósito rectangular inicial, $f(h)=(2{\mathrm{m}}^2)h$ da volumen. Para un líquido idealizado de densidad $\rho =900{\mathrm{kg}/\mathrm{m}}^3$, $g(V)=\rho V$ da masa. La composición es $(g\circ f)(h)=(1800\mathrm{kg}/\mathrm{m})h$. Medio metro corresponde a 900 kilogramos. Las unidades permiten comprobar el encadenamiento: volumen sale en metros cúbicos y entra en la regla de masa. Aplicar $f$ a una masa carece de sentido en estas definiciones, aunque una calculadora pueda multiplicar cualquier número por dos.

Incluso con funciones numéricas que admiten todos los reales, cambiar el orden puede cambiar el resultado. Si $f(x)=x+2$ y $g(x)=x^2$, entonces $g(f(x))=(x+2{)}^2$, mientras $f(g(x))=x^2+2$. Para $x=1$ dan nueve y tres. Componer no equivale a multiplicar expresiones ni es, en general, conmutativo.

Invertir pregunta qué entrada produjo una salida. Una función es inyectiva cuando entradas distintas tienen salidas distintas; en ese caso cada valor de la imagen permite recuperar una sola entrada. Es sobreyectiva respecto de un codominio cuando alcanza todos sus elementos. Si reúne ambas propiedades, es biyectiva y tiene función inversa desde aquel codominio hacia el dominio original. Si sólo es inyectiva, puede invertirse sobre su imagen. La distinción entre codominio e imagen explica por qué estos enunciados no son intercambiables.

La función cuadrado sobre todos los reales no es inyectiva: cuatro procede de dos o menos dos. Si se restringe a entradas no negativas y codominio no negativo, sí tiene inversa: la raíz cuadrada no negativa. La restricción elimina la ambigüedad mediante una decisión de dominio, no mediante un despeje que descubra qué signo se utilizó. (OpenStax, funciones inversas).

La notación $f^{-1}$ indica la inversa, cuando existe; no significa $1/f$. Para $f(x)=3x+2$ sobre los reales, la inversa es $f^{-1}(y)=(y-2)/3$. Se resta dos y se divide entre tres en orden inverso a las operaciones originales. Aquí $y$ es una salida de $f$ y entrada de la inversa. Componerlas devuelve la entrada inicial. Intercambiar las coordenadas de todos los puntos refleja las gráficas alrededor de $y=x$, cuando se dibujan con escalas compatibles en ambos ejes.

Las transformaciones de funciones permiten reconocer cambios de referencia. Si $f$ es una función real y $c$ una constante en unidades de salida, $f(x)+c$ añade lo mismo a todas las salidas y desplaza la gráfica verticalmente. Si $h$ tiene las unidades de entrada, $f(x-h)$ produce una traslación horizontal: lo que antes ocurría en $x=a$ ocurre ahora en $x=a+h$. Para $h>0$ el desplazamiento es hacia la derecha, aunque dentro del argumento aparezca una resta. (OpenStax, transformaciones).

La explicación está en igualar entradas: para alimentar a $f$ con el antiguo valor $a$, debe cumplirse $x-h=a$. No se trata de memorizar un signo «al revés», sino de distinguir cambiar la entrada de cambiar la salida. Multiplicar $f(x)$ por un factor sin unidades escala las salidas; sustituir $x$ por $2x$ comprime horizontalmente los rasgos a la mitad de sus coordenadas originales. En cada transformación también se transforma el dominio. Un proceso retrasado dos horas no adquiere automáticamente una historia definida antes de su nuevo inicio.

119.5. Elegir una función como modelo#

La unicidad es una propiedad de la regla matemática; no obliga a que las observaciones reales tengan una salida única para una variable aislada. Dos semillas de la misma especie y edad pueden tener alturas diferentes. Una función de edad a altura media puede describir una población determinada, pero no elimina la variación individual. Introducir otras entradas o una distribución de resultados responde a otra pregunta que imponer una fórmula determinista a cada ejemplar.

Antes de ajustar una curva importa decidir qué se pretende conservar. Una relación de geometría puede deducirse de dimensiones; una regla de asignación puede definirse por convenio; una dependencia empírica debe contrastarse. Elegir una función afín presume incrementos constantes dentro de un intervalo. Elegir una exponencial presume factores constantes para incrementos iguales. Elegir una función con saturación presume un límite de respuesta. Una curva flexible puede representar datos sin identificar por qué se produjeron.

Ejemplo construido. Se registran las salidas numéricas uno, dos y tres para entradas cero, uno y dos. La regla $f(x)=x+1$ coincide con todas. También coincide $g(x)=x+1+cx(x-1)(x-2)$ para cualquier coeficiente real $c$, con todos los valores sin unidades. El término adicional vale cero en las tres entradas registradas. Fuera de ellas puede cambiar mucho el resultado: en tres vale $6c$. Una coincidencia exacta con pocos puntos no establece una regla única.

La interpolación estima dentro del intervalo cubierto por observaciones; la extrapolación extiende más allá. Interpolar tampoco está libre de supuestos: entre dos puntos podría haber una oscilación o un cambio de régimen no registrado. Extrapolar añade la exigencia de que continúe la relación en condiciones nuevas. Un dominio matemático amplio no equivale a un intervalo de validación empírica amplio.

Los residuos comparan cada salida observada con la que predice el modelo en la misma entrada. Si las discrepancias siguen una curva, cambian sistemáticamente con la entrada o dependen del orden temporal, la función puede omitir estructura relevante. Un solo indicador de ajuste puede esconder esos patrones. El manual de modelización de NIST advierte que un valor alto de la proporción de variación explicada no garantiza un ajuste adecuado y propone examinar los residuos. (NIST, evaluación del ajuste).

Un modelo también necesita restricciones que no dependan de los puntos observados. Un volumen no debe ser negativo en el intervalo físico; una probabilidad debe estar entre cero y uno; un balance debe respetar las cantidades que conserva. Si la función atraviesa valores prohibidos, su suavidad no corrige el defecto. Puede servir localmente y fracasar en otro tramo, o puede haberse elegido para una pregunta diferente.

Además, que una salida sea predecible a partir de una entrada no demuestra que modificar ésta produzca aquel cambio. Una función puede resumir una asociación entre variables influidas por otras condiciones. Establecer causalidad exige información adicional sobre el proceso y cómo se obtuvieron los datos. Los capítulos de estadística y de inferencia causal desarrollarán esa diferencia; aquí evita confundir el sentido de las flechas en una definición matemática con una dirección causal comprobada.

Una función útil mantiene visibles su regla, dominio, unidades y propósito. Permite calcular salidas y comparar cambios sin convertir una dependencia parcial en una descripción exhaustiva. Cuando las restricciones importan tanto como la fórmula, declararlas es parte de la explicación, no una nota exterior al modelo.

Preguntas de transferencia#

La altura que no identifica el volumen#

Ejemplo construido. Dos recipientes contienen agua hasta 30 centímetros, pero sus bases tienen áreas distintas. ¿Puede construirse una función que asigne volumen a altura sin añadir ninguna condición?

Una regla que devuelve un código#

Ejemplo construido. Un registro convierte cada conteo entero no negativo en «bajo» si es menor que diez y «alto» en otro caso. ¿Es una función? ¿Tiene inversa que recupere el conteo?

Dos curvas para un solo comienzo#

Ejemplo construido. Dos modelos de reserva son $A(n)=100+10n$ y $B(n)=100(1,1{)}^n$, con reservas en unidades y $n$ entero no negativo. Coinciden inicialmente y después del primer intervalo. ¿Qué observación posterior ayudaría a distinguirlos?

Una composición con una entrada prohibida#

Sean $f(x)=\sqrt{x}$, con dominio real no negativo, y $g(x)=x-4$, con dominio real. ¿Qué dominio tiene $f(g(x))$? ¿Coincide con el de $g(f(x))$?

Fuentes y lecturas del capítulo#

Richard Hammack. Book of Proof, capítulo 12, «Functions». Referencia para dominio, codominio, imagen, inyectividad y sobreyectividad, con una presentación que permite continuar hacia demostraciones. (Libro abierto).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 3.1, «Functions and Function Notation». Apoya la unicidad de salida, las representaciones y el significado de la notación funcional. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 3.2, «Domain and Range». Lectura sobre restricciones algebraicas de entradas, imágenes y funciones definidas por tramos. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 5.6, «Rational Functions». Referencia para cocientes, huecos y comportamiento asintótico. (Sección).

OpenStax. College Algebra 2e, sección 6.1, «Exponential Functions», y sección 6.3, «Logarithmic Functions». Apoyan la distinción entre cambios aditivos y multiplicativos y la inversión de la exponencial. (Exponenciales; logaritmos).

OpenStax. College Algebra 2e, secciones 3.4, 3.7 y 3.5. Se consultaron para composición, inversas y transformaciones, respectivamente, conservando las condiciones sobre sus dominios. (Composición; inversas; transformaciones).

National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sección 4.4.4, «How can I tell if a model fits my data?». Referencia para residuos y límites de evaluar un modelo mediante un único indicador de ajuste. (Manual).

Bibliografía de la parte XII · Bibliografía general

Última revisión editorial

29 de septiembre de 2026

Cierre de contenidos

29 de septiembre de 2026