PARTE XII · Matemáticas: estructuras, cambio e incertidumbre

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Cálculo I: cambio, límites y derivadas

De una diferencia en un intervalo a una regla local de cambio

Capítulo 122 · 165 capítulos publicados

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Un recipiente recibe líquido a caudal variable. Medir que ganó veinte litros en diez minutos permite calcular dos litros por minuto de media. No revela cuánto entraba en el minuto quinto ni si el caudal aumentaba. Para describir el cambio cerca de un momento se necesitan intervalos más próximos a él y una relación que permita interpretar qué ocurre al reducirlos.

El cálculo diferencial convierte esa pregunta local en una definición precisa. El límite describe un comportamiento de aproximación; la continuidad relaciona ese comportamiento con el valor de la función; la derivada examina una tasa construida a partir de diferencias. Estas ideas dependen de las funciones del capítulo 119 y conservan las restricciones algebraicas de sus expresiones. Su utilidad no consiste sólo en calcular pendientes: permite decidir cuándo una regla local existe, cuánto informa sobre un proceso y qué puede fallar al estimarla.

122.1. Aproximación local y concepto de límite#

Una tasa media divide el cambio de salida por el cambio de entrada. Para una función $f$ , entre dos entradas reales distintas $a$ y $a + h$ la tasa es

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}, h \neq 0.

$a$ es la entrada de referencia y $h$ su incremento, positivo o negativo. Si la entrada mide tiempo y la salida volumen, el cociente tiene unidades de volumen por tiempo. Sobre una gráfica, es la pendiente de la recta que une los dos puntos, llamada secante. El cociente existe sólo donde ambas salidas están definidas y el incremento no vale cero.

Para la función matemática $f (x) = x^{2}$ , con entradas y salidas sin unidades físicas, la tasa desde tres hasta $3 + h$ es

\frac{(3 + h)^{2} - 9}{h} = 6 + h (h \neq 0) .

Con incremento uno, la tasa es siete; con una décima, 6,1; con menos una décima, 5,9. Al reducir la magnitud de $h$ por cualquiera de los lados, los cocientes se aproximan a seis. La expresión inicial no está definida en $h = 0$ . La simplificada revela el comportamiento cercano sin conceder permiso para dividir entre cero.

Se dice que $f (x)$ tiene límite $L$ cuando $x$ se aproxima a $a$ si sus valores pueden hacerse permanecer tan cerca de $L$ como se quiera, tomando entradas suficientemente cercanas a $a$ y distintas de él. Se escribe

lim_{x \to a} f (x) = L .

$x$ es la entrada variable, $a$ el punto de aproximación y $L$ el valor límite. El límite puede existir aunque $f (a)$ no exista o tenga otro valor. No describe una entrada que «casi llega» eternamente mediante un movimiento físico; expresa una relación entre proximidad de entradas y salidas. (OpenStax, límite de una función).

Para precisar «tan cerca como se quiera», se puede elegir primero una tolerancia positiva $ε$ para las salidas. Debe existir una proximidad positiva $δ$ para las entradas tal que, siempre que $0 < | x - a | < δ$ , se cumpla $| f (x) - L | < ε$ . Los signos de valor absoluto miden distancia numérica. La elección de $δ$ puede depender de $ε$ . Lo decisivo es que funciona para todas las entradas suficientemente cercanas del dominio, no sólo para una lista favorable. Aquí se considera un punto interior con entradas disponibles por ambos lados. (OpenStax, definición precisa del límite).

Si la función representa magnitudes, $ε$ tiene las unidades de salida y $δ$ las de entrada. En el ejemplo $6 + h$ , con números sin unidades, la distancia a seis es $| h |$ . Para conseguir una discrepancia menor que una milésima basta exigir $0 < | h | < 0, 001$ . El razonamiento responde a cualquier tolerancia y justifica el límite; una tabla de cinco valores sólo lo sugería. Las tablas y las gráficas ayudan a reconocer un patrón, pero no demuestran que no haya entradas intermedias o mucho más próximas que lo contradigan.

Puede aproximarse desde la izquierda o desde la derecha. Esos límites laterales se escriben $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ y $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ . Para que exista el límite bilateral finito, ambos deben existir y coincidir. Si una función vale cero para entradas negativas y uno para positivas, cerca de cero los dos lados mantienen salidas distintas. Elegir cualquiera de esos valores en cero no crea un límite bilateral.

Cuando una salida crece sin cota al aproximarse a un punto, se habla de límite infinito con una notación como $lim_{x \to 0} 1 / x^{2} = + \infty$ . No es un límite real que haya adquirido el valor «infinito». Afirma que se puede superar cualquier cota positiva tomando entradas no nulas suficientemente cercanas a cero. En $1 / x$ , los signos de los dos lados difieren: hacia cero por la derecha la salida crece positivamente y por la izquierda decrece sin cota.

Los límites también describen comportamiento para entradas grandes, pero no debe confundirse esa pregunta con lo que ocurre cerca de un punto finito. Que $1 / x$ se aproxime a cero cuando $x$ crece no dice que la función valga cero en alguna entrada. En todos los casos, la notación condensa condiciones de aproximación; no sustituye la comprobación del dominio ni el significado de la magnitud.

122.2. Continuidad y formas de discontinuidad#

Una función es continua en un punto interior $a$ cuando está definida allí, tiene límite finito al aproximarse a él y ese límite coincide con $f (a)$ . Las tres condiciones importan. Si los valores cercanos se aproximan a diez pero se asigna cien al punto, existe límite y falta continuidad. Si no existe el valor en el punto, tampoco se cumplen todas las condiciones, aunque el trazo parezca una línea con un hueco diminuto. (OpenStax, continuidad).

En un extremo del dominio, la continuidad se evalúa desde el lado disponible. La función raíz cuadrada real es continua en cero dentro de su dominio no negativo; no se le exige inventar salidas reales para entradas negativas. Hablar de continuidad sin dominio puede transformar una condición legítima en una exigencia imposible.

Una discontinuidad evitable aparece cuando hay un límite finito y basta asignar aquel valor al punto para obtener continuidad. Para $p (x) = (x^{2} - 25) / (x - 5)$ , definida en reales distintos de cinco, la factorización da $p (x) = x + 5$ en su dominio y el límite en cinco es diez. Definir $p (5) = 10$ extiende la función de manera continua. Se modifica su definición: la expresión racional original no se vuelve mágicamente evaluable en su denominador cero.

Una discontinuidad de salto mantiene límites laterales finitos distintos. Una regla de precio o de clasificación puede producirla por diseño. No expresa necesariamente un fallo de medida ni un proceso físico que pase instantáneamente por todas las salidas intermedias. La definición matemática permite discontinuidades aunque la aplicación que se modela exija transiciones más complejas.

Una función también puede quedar no acotada, como $1 / x^{2}$ cerca de cero, o permanecer acotada y oscilar sin acercarse a un valor único. En $\sin (1 / x)$ , para $x \neq 0$ real y ángulos en radianes, se recorren cada vez más ciclos al acercarse a cero. Hay entradas arbitrariamente cercanas con salida uno y otras con salida menos uno. Que todos los valores estén dentro de un intervalo pequeño y fijo no significa que se concentren alrededor de un límite único.

La continuidad conecta información de un intervalo. Una función continua en un intervalo cerrado y acotado toma todos los valores intermedios entre las salidas de sus extremos. Si una función continua cambia de signo entre ellos, alcanza cero en algún punto. El argumento asegura existencia, no necesariamente unicidad ni una fórmula para encontrar aquel punto. Sin continuidad, un salto puede pasar de negativo a positivo sin tomar cero.

Pero ser continua no significa cambiar despacio ni tener pendiente definida. Una función continua puede variar mucho dentro de un intervalo corto. La función $f (x) = | x |$ es continua en cero: ambos lados se aproximan a cero y ése es su valor. Su gráfica tiene una esquina. Desde la izquierda la tasa local es menos uno y desde la derecha, uno. La continuidad conserva valores próximos; la derivación impone además un patrón local de cambio compatible.

En una observación real, una transición muy rápida puede parecer un salto si el muestreo es escaso, y un instrumento puede suavizar un salto del modelo. La continuidad de una regla propuesta no se diagnostica sólo por unir puntos de un registro. Hay que decidir qué parte corresponde al proceso, qué parte a la representación y qué resolución permite distinguirlas.

122.3. Derivada como tasa y pendiente local#

La derivada de $f$ en una entrada interior $a$ es el límite finito de sus tasas medias al reducir el incremento a cero:

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

$f^{'} (a)$ se lee «derivada de $f$ en $a$ ». El cociente se calcula para $h \neq 0$ y el límite exige coincidencia de los dos lados. Si no existe un límite finito, la derivada ordinaria no existe en aquel punto. La definición no toma dos mediciones idénticas y divide una diferencia nula entre un tiempo nulo; usa el comportamiento de cocientes definidos en incrementos no nulos. (OpenStax, definición de la derivada).

El cálculo de $x^{2}$ en tres da $f^{'} (3) = 6$ . Para una entrada general $x$ , la misma expansión da $[(x + h)^{2} - x^{2}] / h = 2 x + h$ y, al tomar el límite, $f^{'} (x) = 2 x$ . La derivada se convierte en otra función que asigna a cada entrada donde existe la tasa local correspondiente. No tiene por qué ser constante ni tener las unidades de la función original.

Ejemplo construido. Un balance ideal de volumen se describe durante cinco minutos mediante $V (t) = V_{0} + c t^{2}$ , donde $t$ es tiempo desde el inicio, $V_{0} = 10 L$ y $c = 2 {L / \min}^{2}$ . La derivada es $V^{'} (t) = 2 c t$ . En tres minutos, el volumen es 28 litros y su tasa local de cambio es 12 litros por minuto. Entre tres y cuatro minutos, la tasa media es 14 litros por minuto. El promedio del intervalo y la tasa en su comienzo son diferentes porque el modelo acelera la acumulación.

La derivada del volumen describe cambio neto. Si el recipiente tiene entrada y salida simultáneas, no identifica por sí sola cada caudal. Un aumento neto de doce litros por minuto puede corresponder a una entrada de doce sin salida, o a una entrada de veinte y una salida de ocho. El significado de la tasa debe conservar la magnitud que se derivó.

Geométricamente, cuando la derivada existe, la tangente es la recta que pasa por $(a, f (a))$ con pendiente $f^{'} (a)$ . Su papel es aproximar la función cerca del punto. No se define por tocar la gráfica «una sola vez» ni por quedar siempre de un lado: una tangente puede volver a cortarla e incluso atravesarla en el punto. La propiedad central es el ajuste local de pendiente.

Dos secantes de una parábola con incrementos decrecientes se aproximan a pendiente dos; en el vértice de valor absoluto, las tasas de izquierda y derecha siguen siendo menos uno y uno — Figura 122.1 — La derivada requiere una tasa local compatible desde ambos lados

Si una función es derivable en un punto, es continua allí. La razón puede verse al reescribir su cambio como incremento multiplicado por el cociente de diferencias: cuando el incremento tiende a cero y el cociente tiene límite finito, el cambio tiende a cero. La recíproca falla, como muestra el valor absoluto. También hay curvas continuas con tangente vertical y sin derivada finita ordinaria.

La derivada de una posición temporal se llama velocidad y puede tener signo, según la orientación elegida. Una segunda derivada, cuando existe, describe el cambio de aquella velocidad y se interpreta como aceleración. Una velocidad negativa no implica por sí sola desaceleración: informa del sentido del movimiento. El signo de su cambio y la variación de la rapidez requieren distinguir ambas magnitudes.

Una tasa local exacta es una propiedad de la función matemática. Un instrumento registra intervalos finitos y datos con resolución limitada. Estimar una derivada a partir de ellos requiere elegir tamaño de intervalo, modelo o suavizado. La definición ideal permite analizar esa estimación; no promete una medición instantánea sin incertidumbre.

122.4. Reglas de derivación y su justificación#

La definición permitiría reconstruir cada derivada desde sus diferencias, pero las reglas conservan el razonamiento para familias completas de expresiones. Si dos funciones $f$ y $g$ son derivables en el punto considerado, el cambio de su suma es la suma de sus cambios. Dividir por el incremento y pasar al límite da $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ . Un factor constante $c$ sale del mismo razonamiento: $(c f)^{'} = c f^{'}$ . Cada prima indica derivación respecto de la misma entrada.

Para una potencia $f (x) = x^{n}$ , con $n$ entero positivo, expandir $(x + h)^{n}$ deja como primer cambio $n x^{n - 1} h$ y términos con potencias mayores de $h$ . Dividir entre $h$ y tomar el límite produce $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ . Para $n = 1$ la derivada es uno; para una constante, cero. Extender la regla a exponentes reales requiere conservar los dominios donde la potencia está definida y es derivable. (OpenStax, reglas de derivación).

En un producto cambian ambos factores. El incremento se puede separar exactamente como

f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x) = [f (x + h) - f (x)] g (x + h) + f (x) [g (x + h) - g (x)] .

Aquí $x$ es la entrada y $h$ un incremento permitido. Dividir entre $h$ y usar continuidad y derivabilidad da la regla del producto:

(f g)^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) .

No es el producto de las derivadas. Para $f (x) = g (x) = x$ , la función producto es $x^{2}$ y su derivada $2 x$ ; multiplicar uno por uno produciría uno. La regla cuenta el cambio aportado por cada factor mientras el otro conserva su valor local.

La regla del cociente resulta de la relación entre el cociente y su producto con el denominador. Si $g (x) \neq 0$ y las funciones son derivables,

{(\frac{f}{g})}^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}} .

El dominio no desaparece al derivar: no hay una derivada ordinaria de la función original en un punto donde no está definida. La fórmula puede servir en los puntos permitidos y tener un comportamiento próximo que se estudie mediante límites.

La regla de la cadena describe una composición. Si $u = g (x)$ y la salida es $f (u)$ , el cambio de $x$ modifica primero $u$ y éste modifica la salida. Bajo derivabilidad de $g$ en $x$ y de $f$ en $g (x)$ ,

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

Las unidades muestran la relación: salida por unidad intermedia multiplicada por unidad intermedia por entrada da salida por entrada. La expresión no es una cancelación informal que sustituya las condiciones del teorema; éstas aseguran que las aproximaciones locales pueden encadenarse. (OpenStax, regla de la cadena).

Ejemplo construido. Un cuadrado tiene lado $s (t)$ que crece a un ritmo de dos centímetros por minuto. Su área es $A (t) = [s (t)]^{2}$ . La tasa de área es $A^{'} (t) = 2 s (t) s^{'} (t)$ , de modo que cuando el lado mide cinco centímetros el área aumenta a veinte centímetros cuadrados por minuto. El mismo ritmo lineal produce una tasa de área mayor en cuadrados mayores. Dar sólo «dos» como tasa de área olvidaría el encadenamiento y cambiaría sus unidades. Los problemas de tasas relacionadas desarrollan este uso de una relación geométrica entre magnitudes. (OpenStax, tasas relacionadas).

Las reglas permiten derivar con eficiencia una expresión exacta. No validan que aquella expresión modele los datos ni justifican derivar una tabla como si contuviera una curva única. Dos funciones pueden pasar por los mismos puntos y tener pendientes distintas entre ellos. La matemática de la regla y la elección de una función para representar el proceso son tareas conectadas, pero diferentes.

122.5. Extremos, sensibilidad y linealización#

Una derivada positiva en todos los puntos interiores de un intervalo implica crecimiento allí, bajo las condiciones ordinarias de continuidad y derivabilidad; una negativa implica decrecimiento. Para justificar la relación entre tasas locales y cambios finitos se utiliza el teorema del valor medio. El signo en un punto aislado sólo aporta información local y no clasifica todo el intervalo. Una gráfica que parece creciente en una ventana tampoco certifica el comportamiento fuera de ella. (OpenStax, teorema del valor medio).

Un máximo local compara una salida con las de entradas suficientemente próximas; un máximo global la compara con todas las entradas del dominio. Los mínimos se definen de manera análoga. Si hay un extremo local en un punto interior donde la función es derivable, la derivada debe ser cero. Es una condición necesaria, no suficiente: $x^{3}$ tiene derivada cero en cero y continúa creciendo a través de él. (OpenStax, máximos, mínimos y puntos críticos).

Una esquina también puede alojar un extremo, como el mínimo de $| x |$ en cero, aunque no exista derivada. Los extremos del dominio pueden ser máximos o mínimos sin anular una derivada interior. Para buscar extremos globales de una función continua en un intervalo cerrado y acotado se comparan valores de extremos de intervalo y candidatos interiores, incluidos los puntos de derivada nula o inexistente. La continuidad garantiza que el máximo y el mínimo se alcanzan, pero no señala dónde.

Ejemplo construido. Una región rectangular se cerca con veinte metros de material. Si un lado es $x$ , el otro mide $10 m - x$ , con $0 < x < 10 m$ . El área es $A (x) = x (10 m - x)$ y la derivada respecto de la longitud es $A^{'} (x) = 10 m - 2 x$ . Se anula en cinco metros. La derivada es positiva antes y negativa después; el área máxima se obtiene con el cuadrado y vale 25 metros cuadrados. Al acercarse a los extremos, el área se aproxima a cero, pero ese mínimo no se alcanza en el dominio de rectángulos no degenerados. El ejemplo separa un máximo alcanzado de una cota inferior que sólo se aproxima.

La derivada también da una linealización. Cerca de $a$ , la función se aproxima mediante su tangente:

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h .

El producto $f^{'} (a) h$ estima el cambio de salida. Si la derivada existe, la discrepancia de esta aproximación, dividida por $| h |$ , tiende a cero al reducir el incremento. No se afirma que la función sea una recta en un intervalo fijo ni que cualquier incremento considerado «pequeño» proporcione la precisión necesaria. (OpenStax, aproximaciones lineales y diferenciales).

Para $f (x) = x^{2}$ en $a = 4$ , con números sin unidades, el valor inicial es dieciséis y la derivada ocho. En $x = 4, 1$ , la linealización da 16,8 y el valor exacto es 16,81. El término omitido es $h^{2} = 0, 01$ . Para $h = 1$ , la discrepancia sería uno. La misma regla local ofrece precisiones distintas según el intervalo; aquí la expansión exacta permite controlar cuánto se dejó fuera.

La sensibilidad absoluta local puede expresarse mediante $| f^{'} (a) |$ : un incremento pequeño de entrada se amplifica aproximadamente por ese factor en la salida. Su valor numérico depende de las unidades. Para comparar cambios relativos cuando $a$ y $f (a)$ son distintos de cero se utiliza el factor adimensional $| a f^{'} (a) / f (a) |$ . Es la razón aproximada entre el cambio relativo de salida y el de entrada. Para el cuadrado en entradas positivas vale dos: un cambio del 1 % en el lado produce cerca del 2 % en el área, con términos adicionales de segundo orden.

Estimar una derivada desde datos tiene una compensación propia. Un intervalo grande mezcla cambios que ya no son locales. Uno demasiado pequeño puede amplificar los errores de las dos salidas al dividir su diferencia entre el incremento. Si cada medición tiene un error absoluto acotado por $η$ , la diferencia puede tener error de hasta $2 η$ y el cociente, hasta $2 η / | h |$ . $η$ tiene unidades de salida y el último cociente, de salida por entrada. Es una cota de peor caso, no una desviación estadística ni una afirmación de independencia de los errores.

Una derivada alta puede significar una respuesta sensible, pero no una causa identificada. Una derivada respecto de la entrada de una función ajustada describe cómo varía ese modelo; atribuir el cambio a una intervención real requiere sustento causal y controlar condiciones. Tampoco derivar una fórmula de ingresos o de salud decide qué resultado debe maximizarse. La elección de objetivo, las restricciones y la incertidumbre quedan fuera de la operación de derivación.

La tasa local permite anticipar un cambio pequeño y examinar candidatos a extremos. Su fuerza procede de explicitar cómo se aproxima y bajo qué condiciones. El capítulo 123 recorrerá la relación complementaria: acumular tasas para reconstruir cambios totales, distinguiendo otra vez la igualdad matemática de la precisión disponible en una aplicación.

Preguntas de transferencia#

Un límite que no coincide con el dato puntual#

Ejemplo construido. Una regla numérica vale $x + 2$ para todo real distinto de tres, y en tres se le asigna el valor cien. ¿Tiene límite en tres? ¿Es continua y derivable allí?

Mostrar respuesta razonada

El límite es cinco porque todos los valores próximos distintos de tres siguen la regla $x + 2$ . No es continua porque el valor asignado es cien. No es derivable allí: el cociente de cambio incluye la discrepancia fija entre los valores cercanos y aquel cien, dividida entre un incremento que tiende a cero. Reemplazar el dato puntual por cinco haría continua la función y recuperaría derivada uno. La corrección modifica la regla, no sólo su dibujo.

La derivada nula que no maximiza#

Se conocen tres candidatos para una función continua sobre un intervalo cerrado: un punto interior de derivada nula, otro donde la derivada no existe y el extremo derecho. ¿Puede descartarse alguno antes de comparar valores?

Mostrar respuesta razonada

No por esas propiedades solas. El punto estacionario puede ser extremo o no, el punto sin derivada puede alojar una esquina extrema y el extremo del intervalo puede superar ambos. Además, debe incluirse el extremo izquierdo y cualquier otro candidato interior pertinente. La garantía de alcanzar máximo y mínimo bajo continuidad no convierte la derivada nula en criterio suficiente ni permite omitir fronteras.

La lectura temporal demasiado próxima#

Ejemplo construido. Dos mediciones de volumen tienen error absoluto de hasta 0,1 litros cada una. Se calcula una tasa media entre lecturas separadas por un minuto y después entre otras separadas por una décima de minuto. ¿La segunda tasa es necesariamente más precisa?

Mostrar respuesta razonada

No. La cota del error de diferencia es 0,2 litros. Al dividir entre un minuto, la cota correspondiente es 0,2 litros por minuto; al dividir entre una décima, es dos litros por minuto. El intervalo menor puede representar mejor la tasa local, pero amplifica más los errores de salida. Hace falta equilibrar resolución temporal, ruido y variación real. Las cotas son conservadoras y no describen por sí solas la probabilidad de cada error.

Encadenar una tasa sin perder las unidades#

Ejemplo construido. El radio de una mancha circular aumenta a $0, 4$ centímetros por minuto. En el instante en que mide diez centímetros, alguien afirma que el área aumenta a $0, 4$ centímetros cuadrados por minuto porque «área y radio cambian a la misma velocidad». ¿Qué falta en ese razonamiento?

Mostrar respuesta razonada

El área no es el radio, sino $A = π r^{2}$ . La regla de la cadena da $d A / d t = 2 π r d r / d t$ . Al sustituir $r = 10$ centímetros y $d r / d t = 0, 4$ centímetros por minuto, resulta $d A / d t = 8 π$ centímetros cuadrados por minuto. El factor $2 π r$ expresa la sensibilidad del área al radio en ese instante y aporta una unidad de longitud; por eso el producto termina en área por tiempo. La tasa del radio no puede trasladarse al área sin la relación que conecta ambas cantidades.

Fuentes y lecturas del capítulo#

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 2.2, «The Limit of a Function», y sección 2.5, «The Precise Definition of a Limit». Apoyan la distinción entre valores puntuales, aproximación lateral y condición que debe cumplirse para todas las entradas suficientemente cercanas. (Introducción; definición precisa).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 2.4, «Continuity». Referencia para condiciones de continuidad, discontinuidades y valores intermedios. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 3.1, «Defining the Derivative». Se utilizó para construir la tasa local como límite de cocientes de diferencias y relacionarla con la tangente. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 3.3, «Differentiation Rules», y sección 3.6, «The Chain Rule». Referencias para operaciones con funciones derivables y condiciones de la composición. (Reglas; cadena).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 4.1, «Related Rates». Lectura sobre encadenar tasas mediante relaciones geométricas y conservar sus unidades. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 4.2, «Linear Approximations and Differentials». Referencia para la tangente como aproximación local y estimación de cambios pequeños. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 4.3, «Maxima and Minima». Apoya la distinción entre extremos locales y globales, candidatos críticos y necesidad de comprobar extremos del dominio. (Sección).

OpenStax. Calculus Volume 1, sección 4.4, «The Mean Value Theorem». Referencia para relacionar el signo de tasas locales con el comportamiento en un intervalo. (Sección).

Última revisión editorial: 29 de septiembre de 2026
Cierre de contenidos: 29 de septiembre de 2026